Fermat i el polígons regulars

Pierre de Fermat va ser un jurista francès del segle XVII aficionat a les matemàtiques que va passar per ser considerat el creador de la teoria de nombres, encara que també va realitzar aportacions en altres àrees de les matemàtiques. Fermat solia plantejar resultats sense donar la seva demostració, i no va publicar pràcticament res en vida. Solia comunicar els seus descobriments mitjançant cartes enviades a altres matemàtics de l'època (principalment a Marin Mersenne). I devia de tenir bon ull, ja que veiem que gairebé mai es va equivocar en les seves afirmacions.

I diem "gairebé" perquè sí va cometre algun error. El més important és, possiblement, considerar que havia trobat una expressió que generava sempre nombres primers diferents. Fermat va conjecturar que tots els nombres de la forma 2 elevat a 2ⁿ més 1 (l'1 se suma després de calcular les dues potències de 2), anomentats Fn, eren primers per a tot enter no negatiu que poguéssim col·locar en el lloc de n.
És cert que per a 0, 1, 2, 3 i 4 aquesta expressió dóna nombres primers, però per n = 5 el resultat és un nombre compost. Va ser Leonhard Euler qui, un segle més tard, va demostrar aquest fet factoritzant F₅. A la següent imatge podeu veure els resultats de Fn per n de 0 a 5 i la factorització de F₅:

És a dir, no tots aquests nombres de Fermat són primers (els que sí que ho són es denominen, com no podia ser d'una altra manera, Primers de Fermat). Però la cosa és encara més greu: no es coneix cap altre nombre de Fermat que sigui primer a part de F₀, F₁, F₂, F₃ i F₄. D'algun dels posteriors a F₅ es coneix la seva factorització (no són Primers) i, per algun altre s'ha demostrat que no és primer, tot i que encara no s'hagi pogut factoritzar (donada la magnitud del nombre en qüestió). Vaja, que no va ser un error petit, sinó que l'afirmació de Fermat en aquest tema va ser una fallada bastant grossa.
Però, com tot el que tocava Fermat, aquests números amagaven alguna cosa realment interessant, una relació inesperada amb unes figures planes que, en principi, no tenen gaire a veure amb ells: els polígons regulars.
Un polígon és una figura plana formada per un nombre finit de segments, que s'anomenen costats, que formen una cadena tancada i que delimiten una regió del pla. Els punts en els quals es tallen dos segments es diuen vèrtexs. Un quadrat, un triangle, un rectangle o un pentàgon són exemples de polígons.
Si els costats del polígon són iguals i els angles que formen cada dos costats consecutius també ho són, llavors estem davant d'un polígon regular. Un quadrat i un triangle equilàter són polígons regulars.

La construcció de polígons regulars amb regla i compàs, seguint les normes gregues, ha estat un tema tractat per molts matemàtics des de l'antiguitat. Des de fa molt temps se sap com construir d'aquesta forma un triangle equilàter, un quadrat o un pentàgon, però, per exemple, no es coneixia en l'època de Fermat cap manera de construir un heptàgon regular (set costats) o un enneàgon regular (nou costats). De fet, no se sabia si podien construir-se tots, i, en el cas que no es pogués, no hi havia una forma de determinar quins eren construïbles amb regla i compàs i quins no.

Però va arribar Carl Friedrich Gauss i va revolucionar el tema. En la seva meravellosa obra Disquisitiones Arithmeticae, Gauss va demostrar que si el nombre de costats d'un polígon complia certa condició, llavors era construïble amb regla i compàs. Aquesta condició era que la factorització en nombres primers del nombre de costats només podia ser una potència de 2, un Primer de Fermat o un producte d'aquests tipus de nombres: una potència de 2 per un Primer de Fermat, un producte de diversos primers de Fermat diferents o la multiplicació d'una potència de 2 per diversos primers de Fermat també diferents.
Escrit de manera més matemàtica, Gauss va demostrar el següent en la secció VII de les seves Disquisitiones:
"...Si el nombre de costats, n, d'un polígon regular és de la forma n = 2r · p1 · ... · pk, amb r un enter major o igual que zero i p1, ..., pk primers de Fermat diferents, llavors aquest polígon regular és construïble amb regla i compàs..."
Aclarir que podria no aparèixer cap Primer de Fermat en la descomposició, i recalcar de nou que si n'apareix més d'un, llavors han de ser diferents. Obviant ara els casos que no tenen sentit (r = 0 sense primers de Fermat donaria un polígon d'una banda, i r = 1 sense Primers de Fermat donaria un polígon de dos costats), amb aquest resultat s'ha avançat bastant en el que es refereix a identificar els polígons regulars construïbles ...
... Però encara no està tot fet. Si el nombre de costats té aquesta forma, llavors el polígon regular és construïble, però si no és d'aquesta forma no se'n sap res encara. Per anar bé, caldria que el resultat també fos cert al contrari. És a dir, que també fos cert que si un polígon regular és construïble, llavors el seu nombre de costats segueix aquesta expressió.
Gauss pensava que sí, que això també es complia, però no va arribar a demostrar-ho (almenys no es coneix cap demostració seva al respecte). L'important és que no s'equivocava: Pierre Wantzel, al 1837, demostrava que el recíproc del resultat de Gauss també era cert. Això sí que tanca completament el cercle: un polígon regular és construïble amb regle i compàs si i només si el seu nombre de costats factoritza en nombres Primers de la forma comentada abans.

Això vol dir que, amb les regles clàssiques gregues, es pot construir un quadrat (22 costats), un triangle equilàter (3 costats, Primer de Fermat), un pentàgon regular (5 costats, Primer de Fermat), un hexàgon regular (2 · 3 costats, producte de potència de 2 per Primer de Fermat) o un decàgon regular (2 · 5 costats, potència de 2 per Primer de Fermat), però no un heptàgon regular ni un enneàgon regular, ja que cap factoritza de la forma descrita.
Comentari a part mereix, el heptadecàgon regular, polígon regular de 17 costats (Primer de Fermat). Gauss, quan tenia 19 anys, va demostrar que aquest polígon era construïble amb regla i compàs, però no va donar els passos de la seva construcció. Va ser Jonathan Erchinger qui ens va mostrar com construir un heptadecàgon regular en 64 passos. I també el polígon regular de 65537 costats (Primer de Fermat), la construcció va ser desenvolupada, durant 10 anys, per Johann Gustav Hermes. La va publicar el 1894 i consta de 200 pàgines.

Veient la factorització del nombre de costats dels polígons regulars construïbles, és evident que se'n poden construir infinits amb regla i compàs. Però analitzant l'assumpte més profundament, i tenint en compte que no es coneixen més Primers de Fermat que F₀, F₁, F₂, F₃ i F₄, en essència són molt pocs els polígons regulars construïbles. De fet, si es treu la potència de 2 només hi han 31 polígons regulars que es sap que són construïbles. Mentre no es descobreixin més primers de Fermat, aquests seran els únics de costats imparells que es podrà aspirar a construir. Si més no curiós que, teòricament (en la pràctica és pràcticament impossible), poder construir amb regla i compàs un polígon regular de 4294967295 costats (3 · 5 · 17 · 257 · 65537) però no poder construir-ne un de 7 costats.

Font: EL ALEPH