El graf endevinador de la lletra del DNI

En més d'una ocasió la gent es pregunta si se sap com s'assigna la lletra del DNI, i en la majoria dels casos la resposta és: NO.
Gairebé tots acaben dient que pensen que podria ser una assignació a l'atzar, encara que hi ha gent que creu que hi ha d'haver una mena de fórmula que s'encarregui d'aquesta tasca. La realitat és que són aquests últims els que tenen raó. En aquest article comentarem com es fa aquest càlcul de la lletra del DNI i també, com construir un graf endevinador de la lletra del DNI.
Per començar, cal saber quin és el mètode d'assignació de lletra al número del DNI, que, dit sigui de passada, és força senzill. Si s'escull el número del DNI, de 8 xifres, es divideix entre 23 i s'obté la resta d'aquesta divisió. Després cal buscar aquest resta en la següent taula per obtenir la lletra que li correspongui:

Es pot comprovar o amb el propi DNI. Però si s'usa una calculadora cal recordar que la calculadora, normalment, no mostra la resta de la divisió. No hi ha problema: cal dividir el número de DNI entre 23, llevar els decimals al resultat, multiplicar el que dongi per 23 i restar el que doni al número de DNI, per exemple amb el número 34567890:

34567890 / 23 = 1502951'7391 ...

1502951 x 23 = 34.567.873

34567890 - 34567873 = 17

Si s'observa a la taula anterior, es pot veure com la resta és 17, al nombre 34.567.890 li correspon la lletra V.
Vist això, ara es pot construir el graf endevinador. Un graf és bàsicament un conjunt de punts que es diuen vèrtexs i un conjunts de línies que connecten parelles de punts, anomenades arestes. El graf dirigit, significa que les arestes seran fletxes que es poden recórrer en un sol sentit.
El graf endevinador tindrà 23 vèrtexs. En principi, en ells es col·loquen les 23 possibles restes que es poden obtenir en dividir entre 23, de 0 a 22. Es disposen aquests vèrtexs en cercle en l'ordre que indica la pròpia taula, i cal unir cadascun amb el següent amb una fletxa (són les fletxes negres de la imatge següent) fins a tancar el cercle.
Ara cal dibuixar un nou grup de fletxes (les vermelles de la imatge posterior) segons la següent regla: cada vèrtex V s'uneix amb una fletxa amb la resta que queda al dividir 10 · V entre 23. Per exemple, per veure amb quin caldrà unir el vèrtex 7 cal fer 10 · 7 = 70 i dividir 70 entre 23. Aquesta divisió dóna resta 1, per la qual cosa el 7 sortirà una fletxa que arribarà al 1. i, per posar un altre exemple, per a l'11: 10 · 11 és 110, i la divisió de 110 entre 23 dóna de la resta 18, pel que l'11 sortirà una fletxa que arribarà al 18.
Quan es tinguin totes aquestes fletxes dibuixades, cal substituir cada resta, els nombres del 0 al 22 que es van posar al principi, per la lletra que li correspon en la taula anterior, i queda el e graf endevinador de la lletra del DNI :

Ara com es pot usar per endevinar la lletra d'un DNI espanyol?
Començant per la T, es pren el primer dígit del DNI i es recorre tantes fletxes negres com digui aquest dígit. Quan s'arriba a una lletra, es recorre la fletxa vermella que surt d'ella. Des d'aquí, cal fer el mateix amb el segon dígit, les fletxes negres que digui i després la vermella. Així fins al setè dígit. Després recórrer les negres que digui el vuitè dígit, i la lletra en la qual acabem és la lletra que cal assignar al nombre inicial.
Vegem com a exemple quin ens quedaria per al número que fem servir uns paràgrafs més amunt, el 34567890:

T - 3 negres - A - vermella - F

F - 4 negres - B - Roja - H

H - 5 de negres - T - Roja - T

T - 6 negres - I - Roja - Z

Z - 7 de negres - K - Roja - A

A - 8 negres - B - Roja - H

H - 9 negres - G - Roja - V

V - 0 negres - V -----> La lletra és la V, tal com s'havia vist anteriorment.

Un altre exemple amb el número de DNI que coincideix amb la data, 25/01/2017. La seqüència de lletres seria la següent:

T - W - C - W - C - C - Q - V - D - B - H - H - L - C - Q - T

Curiosament, 25012017 és múltiple de 23, pel que la seva resta al dividir-lo entre 23 és 0. Per tant, tal com s'ha dit en el graf endevinador de lletra del DNI, la lletra que li correspon al nombre 25012017 és la T .
El que s'ha construït és el graf de divisibilitat del 23 , amb el qual es pot calcular la resta que deixa un nombre qualsevol a dividir-lo entre 23 seguint la regla de les fletxes que s'ha descrit. Però això es pot fer per a qualsevol nombre m més gran que 1:
Cal col·locar els nombres de 0 fins a - 1 en cercle i unir-los en ordre amb fletxes (les negres) fins a tancar el cercle. Després, cada vèrtex k s'uneix amb la resta que s'obté en dividir 10 · k entre m (les fletxes vermelles).
Tot i que és evident, és interessant comentar que aquests grafs poden usar-se com "criteris de divisibilitat" entre m: si per a un nombre s'obté resta 0, llavors aquest nombre és múltiple de m.

Font: Gaussianos