Billar i matemàtiques

El billar és un joc popular. Els inicis es remunten a cultures tan antigues com les de Grècia i Egipte, tot i que és al segle XVII quan pren la forma actual. El nom ve de la paraula francesa bille, bola. Avui dia s'associa a les cerveses i reunions d'amics, i també té presència a les televisions amb concursos en què els jugadors, en les seves diferents variants, fan jugades que ens semblen impossibles.

Estudiants de Tubinga jugant al billar al segle XIX

El billar és un joc amb un alt contingut matemàtic, i ja al 1835 el francès Gaspar Gustave de Coriolis va escriure l'obra titulada Teoria matemàtica del joc de billar en què s'estudien les trajectòries parabòliques. El gravat que s'acompanya, és fins i tot més antic, del llibre de Charles Cotton de 1674 titulat The Compleat Gamester.

Hi ha una analogia entre un billar i un sistema físic com pot ser un gas atrapat en un recipient. Les boles del billar es comporten de manera similar als àtoms del gas. Es mouen lliurement fins que xoquen amb el recipient que les conté. En el billar, de manera similar, les boles roden per la taula fins que es troben amb les vores. Tot i suposar condicions perfectes en els models (per exemple, el gas no perd energia), un diagrama que representi les posicions i velocitats de cada àtom o cada bola del billar, dista de ser senzill. A aquests models en què no es perd energia o els models de "boles dures" com les del billar, sense rotació i que interactuen elàsticament entre si, se'ls anomena sistemes hamiltonians.
De fet, el model dels gasos va ser comparat al model de billar per la hipòtesi ergòdica de Boltzmann (fa més de cent anys). La teoria ergòdica presenta precisament la integrabilitat o no integrabilitat d'un sistema dinàmic.
A la riquesa dels diferents moviments i combinacions, sorgeixen els règims integrables o no integrables. En paraules senzilles, que puguem obtenir una equació que expliqui el moviment o no. D'altra banda, els sistemes poden ser caòtics: petites variacions en les condicions inicials poden implicar canvis profunds en el comportament molt futur que impossibiliten la predicció a llarg termini.
Els sistemes integrables presenten la coexistència de hipersuperficies anomenades toros.

Unes superfícies molt comuns en matemàtiques, (els dònuts o rosquilles), i en els no integrables existeixen components ergòdiques (dit de manera molt simplificada).
Un exemple notable de billar és el d'Hadamard, que analitza el moviment d'una partícula lliure en una superfície que posseeix una curvatura negativa constant. És l'exemple per antonomàsia del caos determinista. L'acoblament de Boltzmann-Gibbs per a un gas ideal és essencialment el més caòtic dels billars d'Hadamard.
El billar de Sinái és un billar de taula quadrada plana i en el seu centre s'extreu un cercle. Sorgeix en estudiar el comportament de dos discos que es desplacen dins del billar quadrat, reflectint-se en les vores del quadrilàter i que poden xocar entre si. Aquest billar és caòtic i serveix també com a model d'un gas clàssic, com un gas de Lorentz.

No obstant això, també hi ha exemples de billars no ergòdics. El matemàtic nord-americà George Birkhoff (1884-1944) va demostrar que els billars de taula el·líptica són completament integrables. Aquí, les òrbites representades en un espai de fases (de posicions i un factor de la velocitat, denominats moments) són periòdiques. Les òrbites en un espai de fases d'un sistema ergòdic acaben recobrint l'espai.

Font: ICMAT-CSIC