Corbes que se separen

Pel que fa a enunciats i demostracions, el món dels teoremes matemàtics és d'allò més variat. N'hi ha amb enunciats curts i enunciats llargs, i es poden trobar amb formulacions molt clares i senzilles d'explicar i amb formulacions bastant complexes. I pel que fa a les demostracions, hi ha de tot: belles, farragoses, curtetes, enfarfegadores, llargues, geomètriques, analítiques ...

El cas és que en matemàtiques tot resultat proposat s'ha de demostrar perquè es consideri correcte. Però és cert que alguns teoremes són tan clars i intuïtius que sembla que no necessiten demostració per afirmar la seva veracitat. Per això, possiblement, el cas més clar i representatiu d'aquest tipus de resultats és: el teorema de la corba de Jordan.

L'enunciat d'aquest teorema és d'allò més simple, intuïtiu i senzill d'explicar i comprendre, però, per contra, les demostracions que es coneixen d'ell són llargues, complexes i tècniques o necessiten d'utilitzar alguna teoria molt avançada.

Abans d'enunciar aquest teorema, cal introduir el problema a poc a poc. Per exemple amb un bolígraf es dibuixa un revolt tancat i que no es talli a si mateix (una circumferència o la imatge anterior. Està més o menys clar que aquesta corba deixa una porció del paper "dins" de la mateixa i una altra porció "fora" de la mateixa, i que aquestes dues porcions no tenen res en comú. I que la vora de les dues porcions és la pròpia corba que s'ha dibuixat. Bé, doncs aquest és el teorema de la corba de Jordan.

Abans de continuar, cal fixar-se en els punts que hi ha marcats en la imatge. Es podria dir quins d'ells estan "dins" de la corba i quins estan "fora" de la corba? En aquest cas la cosa és senzilla de veure, però potser no seria tan senzill si la corba fos molt més llarga, estigués dibuixada en un paper a major grandària i tingués molts més girs i complicacions. La pregunta és, llavors, la següent: es podria donar algun procediment que asseguri, sense cap mena de dubte, si un punt està "dins" o "fora" de la corba? La resposta ve més endavant.

  

Pel que sembla, el primer que va formular aquest resultat va ser el matemàtic francès Camille Jordan a la fi del segle XIX. El mateix Jordan va presentar una demostració d'aquest, però va resultar ser incorrecta. El primer que va donar una demostració correcta d'aquest teorema va ser Oswald Veblen al 1905. El teorema de la corba de Jordan pot enunciar de manera informal (en el sentit que estalviarem alguns detalls tècnics) com segueix:

Tota corba tancada representada en un plànol que no es talli a si mateixa divideix el pla en dues regions sense punts comuns: la "interior" (acotada) i l’ "exterior" (no fitada). A més, la vora de les dues regions és la pròpia corba.

Si es planteja a qualsevol persona, tingui formació matemàtica o no, segur que ho entendrà sense gaire esforç i, a més, ho veurà absolutament evident. De fet, és possible que algú que entengui que els teoremes cal demostrar-los pensi que en aquest cas ni tan sols caldria, que la cosa és tant evident que no podria no ser certa. O, en el cas d'assumir que cal demostrar-ho, pensaria que la demostració ha de ser bastant senzilla ...

... doncs no és així: les demostracions que es coneixen d'aquest teorema són realment complicades. Algunes són molt llargues i molt tècniques, i altres més curtes ho són perquè fan servir teories molt potents i avançades, pel que en realitat també són molt complicades i tècniques. D'aquestes últimes no en comentarem res més, però de les primeres, si.

La demostració llarga i tècnica fa servir com a idea inicial el tema que es plantejava abans com a exercici. Com saber si un punt està "dins" d'una corba o "fora" de la mateixa? Doncs hi ha un procediment relativament simple per veure-ho: talls transversals. Una recta talla transversalment a una corba si aquesta no és tangent a la corba en aquest punt de tall. A la següent imatge es pot veure un tall transversal i un que no ho és:

  

Bé, doncs es pot utilitzar això per determinar si un punt està a l'interior o a l'exterior de la corba. Des del punt, es traça una semirecta cap a una zona que se sàpiga amb seguretat que és a l'exterior de la corba i es compta quants talls transversals hi ha (si n'hi ha algun tangent no es compte). Si el nombre de talls transversals és parell, el punt estava a l'exterior de la corba, i si és imparell, llavors el punt estava a l'interior de la corba.

Doncs aquesta és la clau de la demostració, la idea és definir dos conjunts:

A = {punts per als quals tota semirecta traçada des d'ells talla transversalment a la corba un nombre imparell de vegades}

B = {punts per als quals tota semirecta traçada des d'ells talla transversalment a la corba un nombre parell de vegades}

I demostrar (i aquí hi ha el que és veritablement complicat) que en ambdós conjunts hi ha punts, que no tenen punts comuns i que la seva unió ens dóna el pla complet excepte la pròpia corba inicial. Sembla fàcil, però  no ho és.

I ara la pregunta és natural: què passa en altres dimensions? Doncs per corbes hi ha una generalització a qualsevol dimensió anomenada teorema de separació de Jordan-Brouwer, però per a superfícies la cosa falla, per exemple, en tres dimensions. Aquest enllaç porta a un article sobre  un contraexemple en tres dimensions: l'esfera cornuda d'Alexander.

Com s'ha comentat uns paràgrafs més amunt, és cert que s'han saltat molt detalls tècnics, tant en les definicions com, evidentment, en la demostració. Aquest resultat és cert per a tota corba que pugui deformar-se, sense trencar-la, fins a una circumferència (aquestes corbes s'anomenen corbes de Jordan ), però entre elles hi ha casos estranys que són difícils d'analitzar: corbes amb pics, punts des dels quals es poden traçar semirectes que tallen transversalment a la corba infinites vegades i algunes altres situacions complicades d'estudiar.

Font: Gaussinanos