La conjectura de l'escalada fins a un nombre primer

Tota conjectura relacionada amb nombres primers té, d'una manera o altra, gran interès i, per què no dir-ho, certa bellesa. La conjectura de Escalada fins a un PRIMER (en anglès, climb to a prime), és un altre exemple més d'això.

La conjectura d'escalada fins a un PRIMER tracta, com el seu propi nom indica que, partint d'un nombre, anar escalant a través d'altres nombres fins a arribar a un nombre primer. Va ser proposada per John Horton Conway, matemàtic britànic.
La conjectura és senzilla de plantejar, però primer cal veure què és això d'escalar fins a un PRIMER. Si s'agafa un nombre qualsevol i es descompon en factors primers (col·locats en ordre ascendent). Si el primer obtingut és un nombre PRIMER, llavors ja s'acabat, però si no ho era, es construeix el nombre format pels factors primers i els exponents dels mateixos col·locats tal qual surten a la factorització. Amb el número obtingut es fa el mateix que abans. La escalada finalitza quan s'obté un nombre Primer.

Aquest exemple ho aclareix:
Si es pren el nombre 30. Com que 30 = 2·3·5, per altra banda si s'anomena f a la funció que converteix un número en el nombre que resulta en col·locar factors Primers i exponents, s'obté que f(30) = 235. Aquest nombre no és primer, per la qual PRIMER del nombre 30.

Un nou exemple, aquest cop amb el 333:
Com que 39722974813 és Primer, ja s'ha acabat l'escalada del 333.
La conjectura de Conway sobre "escalada fins a un PRIMER" diu que tot nombre natural més gran o igual que 2 acaba la seva escalada en un nombre primer. Com els nombres primers no han d'escalar (ja han arribat a un nombre primer, ells mateixos), per donar resposta a aquesta conjectura s'han d'aconseguir una d'aquestes dues coses:

1. Demostrar que tot nombre compost escala fins a un nombre primer amb el procés esmentat abans.
2. Trobar un contraexemple, que seria un nombre compost que no aconsegueixi escalar fins a un nombre primer amb el mètode proposat.

Conway deia que semblava que ell era l'únic que creia que era certa, encara que donava un nombre petit per al qual encara no s'havia verificat: el 20. Es poden provar altres números, el 20, ja que per a ell el procés s'allarga més de 100 passos ... i sembla ser que encara no se sap si culmina en un primer o no.
Però això no val com a contraexemple, ja que el fet de no saber si el 20 escala fins a un Primer no assegura res. Serà certa la conjectura o, per contra, hi haurà algun contraexemple?
Si es resol la incògnita: la conjectura és falsa. Fa pocs mesos, James Davis va trobar un contraexemple: el nombre 13532385396179. Per què és un contraexemple?
És a dir, f(13532385396179) = 13532385396179. Com que és un nombre compost i f el converteix en si mateix (és un punt fix de f), es un nombre que no aconsegueix escalar fins a un nombre primer. Llavors, el Sr Conway, estava equivocat? la seva conjectura sobre "escalada fins a un PRIMER" no és certa?
Com es pot intuir, aquest no és l'únic contraexemple, ja que amb aquest se'n poden construir d'altres. Per exemple, si s'agafa el nombre 45214884853168941713016664887087462487 i es descompon en factors primers, la factorització serà:

45214884853168941713016664887087462487 = 13·53238 ·5.396.179

Per tant:

f(45214884853168941713016664887087462487) = 13532385396179

que és el nombre anterior que s'ha vist que f transforma en si mateix. Llavors es te un nou contraexemple, el nombre 45214884853168941713016664887087462487 tampoc és capaç d'escalar fins a un PRIMER.
Aquest número està construït a partir de l'anterior per forçar a que sigui un contraexemple. Existeixen altres maneres de construir contraexemples a partir d'algun ja conegut.

Font Gaussianos