Michaël Rao acaba la recerca de polígons convexos tessel·ladors

Fa poc més de dos anys, s'explicava el descobriment d'un nou pentàgon (convex) que tesel·la el pla (que ho omple completament sense deixar buits). Aquest pentàgon era el següent:

Amb ell, es poden crear teselacions com aquesta:

Amb aquest exemplar eren ja 15 els pentàgons convexos irregulars essencialment diferents que són capaços de tessel·lar el pla, però no se sabia si hi havia més. De fet se sospitava que la llista estava incompleta, que quedava algun pentàgon tessel·lador per descobrir.

Doncs Michaël Rao va demostrar fa uns mesos que la llista està completa, que els únics pentàgons convexos irregulars que tessel·len el pla són els 15 que ja es coneixien. Amb el seu treball Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane, Rao tanca completament la recerca de polígons convexos tessel·ladors.
Ho tanca perquè amb aquest treball ja es coneixen tots els polígons convexos, tant regulars com irregulars, amb els quals es pot tessel·lar el plànol. Sabent (està demostrat) que cap polígon convex de 7 o més costats, ja sigui regular o irregular, pot tessel·lar el pla, la cosa queda així:

• Pel que fa a polígons convexos regulars, només el triangle equilàter, el quadrat i l'hexàgon regular poden tessel·lar el pla.

Pel que fa a polígons convexos irregulars, es te el següent:

• Tot triangle, siguin com siguin els costats i els angles, tessel·la el pla.
• Tot polígon convex de quatre costats pot tessel·lar el plànol, independentment de la mesura dels seus costats i dels seus angles.
• Hi ha 15 pentàgons convexos irregulars que tessel·len el pla, que són els 15 que apareixen en la imatge que apareix una mica més amunt.
• Hi ha tres hexàgons irregulars que són capaços de tessel·lar el plànol.

Per tant, un nou problema obert que es resolt. Però pel que fa a tessel·lacions encara no està tot dit, encara queden qüestions que no estan resoltes. La que possiblement és la més important (els que treballen en tessel·lacions l'anomenen el Sant Grial) és la recerca de l'einstein.
Aquest einstein no té res a veure amb el bo de l'Albert, sinó amb ein stein, que significa una pedra en alemany, i es tracta (si n'hi ha) d'un polígon que només tessel·la el pla de forma no periòdica. Encara no s'ha trobat un polígon (que, evidentment, serà no convex) amb aquesta característica, però tampoc s'ha demostrat que no existeixi.

Font: Pentagon tiling Proof Solves Century-Old Math Problem