Les matemàtiques dels escutoides

Fa poques setmanes, sortia a la llum una de les notícies científiques més importants dels últims temps: s'havia trobat una nova estructura geomètrica relacionada amb les cèl·lules: l'escutoide (en anglès, scutoid). Era Nature el mitjà que ho publicava amb l'article "Scutoids are a Geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia", i amb aquesta publicació es coneixia que els responsables d'aquest descobriment són un grup de científics espanyols liderat per Luis María Escudero.

Si s'escriu a Google (o en el seu cercador favorit) "escutoide" o "scutoid" es poden trobar ja milers de referències. En totes s'assenyala que s'ha descobert una forma geomètrica nova i que aquesta és la forma que adopten certes cèl·lules. 

Fa algun temps, Luisma Escudero va proposar que s'intenti descriure l'estructura de les cèl·lules que componen els diferents teixits des d'un punt de vista matemàtic. Ells ja ho havien fet en un cas molt simple (es pot dir que 2-dimensional) usant diagrames de Voronoi. Donat un conjunt de punts o objectes en el pla o en l'espai, cada regió de Voronoi és el lloc geomètric dels punts del pla o de l'espai més propers a un dels objectes. 

Se sap que els diagrames de Voronoi reflecteixen la zona d'influència de punts (o objectes). I si es fan créixer uns cercles al mateix ritme a partir de punts fixos del pla, s'obté el diagrama de Voronoi dels centres dels cercles. Això queda il·lustrat en la figura següent, en què es representen els cercles creixent com cons amb la mateixa obertura i vèrtexs en els punts als quals volem calcular el diagrama de Voronoi:

Si es mira la figura des de dalt, veiem el diagrama de Voronoi:

Això ve motivat perquè se suposa que cada cercle en créixer exerceix la mateixa "força". Aquesta va ser la idea que van aprofitar Luisma Escudero i alguns col·laboradors per desenvolupar el model d'empaquetament de cèl·lules en 2D.

No obstant això, donar el pas a estructures tridimensionals no és trivial, ja que si es generalitza l'anterior s'obté un diagrama de Voronoi 3D que no presenta una organització com la que es manifesta en els teixits epitelials. Aquests són com una capa delimitada per dues superfícies paral·leles (denominades superfícies basal i apical), i les mateixes cèl·lules que apareixen a la basal es veuen en la apical. Això havia portat, fins al moment, a representar les cèl·lules de teixits epitelials com prismes o piràmides truncades amb una base a la superfície basal i una altra a la apical. No obstant això, aquest model no es correspon amb l'organització de les cèl·lules en els teixits epitelials. Luisma i el seu grup havien comprovat que les cèl·lules que es toquen en cadascuna de les superfícies no són les mateixes i que els prismes són massa rígids per admetre les curvatures que presenten aquests teixits. Les dues són pegues importants: la segona perquè no modelen bé des del punt de vista geomètric; la primera perquè és fonamental saber quines cèl·lules estan en contacte amb altres des del punt de vista de la biologia.

Així que calia trobar una forma geomètrica que modelés bé les cèl·lules dels teixits epitelials, que es pogués plegar i adoptar diferents curvatures, la forma correspongués a un model d'equilibri de forces (i per tant que es pogués representar com un diagrama de Voronoi) i que fos des de la superfície basal fins a la apical, però sense haver de tenir els mateixos contactes en ambdues superfícies.

Una primera proposta, va ser usar els prismatoides que havien permès a Paco Santos la refutació de la conjectura de Hirsch, però aviat es va veure que no s'ajustaven bé a algunes de les observacions realitzades pels biòlegs. Així que es va arribar als escutoides.

Com es defineix el que és un escutoide? Per això es necessiten alguns conceptes previs. En primer lloc, cal modelar els teixits epitelials. Fent això amb una superfície, que va representar la superfície basal, i mitjançant transport paral·lel es defineix la superfície apical. L'epiteli és tota la regió compresa entre totes dues. El següent pas és definir unes "llavors". Per a això, cal escollir uns quants punts aleatòriament en la superfície basal i construir, sobre aquests punts, els segments en la direcció de la normal en cada punt que uneix les capes basal i apical. Cada un d'aquests segments talla a les transformades paral·leles de la capa basal en un punt i ara el que fem és, per a cadascuna d'aquestes transformades paral·leles, construir el diagrama de Voronoi dels punts resultants. No és un diagrama en el pla. Finalment, per formar un escutoide cal unir cadascuna de les regions corresponents a punts del mateix segment.

Si el que es busca és una descripció, tot i no ser simple, es pot dir que un escutoide és un sòlid geomètric entre dues superfícies paral·leles tal que les restriccions a cadascuna de les superfícies (i la resta de les superfícies paral·leles entre elles) són polígons ( delimitats per geodèsiques), i els vèrtexs d'aquests dos polígons estan units per una corba o per una connexió en forma de lletra i. Les cares dels escutoides no són necessàriament convexes, de manera que diversos escutoides poden empaquetar per omplir tot l'espai entre les dues superfícies paral·leles.

Una imatge de l'aspecte dels escutoides, i com s'acoblen, pot ser la següent:

Una de les claus era tractar d'interpretar per què de vegades els veïns de Voronoi d'una cèl·lula eren els mateixos en les superfícies apical i basal i altres no. Llavors es va veure que amb aquest model això quedava plenament justificat i que s'ajustava a les observacions que s'havien fet: si la superfície tenia les dues curvatures principals iguals, es pot demostrar que els veïns de Voronoi han de coincidir (això passa pel pla i l'esfera). I com més divergència hi hagi entre les dues curvatures (en funció del gruix de l'epiteli o distància entre superfícies), més canvis de veïns hi ha. A més, aquests canvis es produeixen en la direcció de la menor de les curvatures. Totes aquestes prediccions es van veure confirmades amb els mesuraments duts a terme per l'equip de biologia.

Font: Gaussianos