Els tresors matemàtics que amaga el triangle de Pascal

Tot seguit es desgrana un recull d'algunes de les curiositats matemàtiques que es poden trobar en el triangle de Pascal.
Quan s'escolta la paraula triangle, la primera imatge que ve al cap és la figura geomètrica. Però seguidament s'explica un triangle numèric és a dir, una certa disposició de nombres en forma de triangle.
El triangle de Pascal (o triangle de Tartaglia) està format per infinites files de nombres, i es construeixen de la següent manera:

• La primera fila, la Fila 0, té només un 1.
• La segona, la Fila 1, té dos uns, a esquerra i dreta de l'u anterior: 1 1
• La tercera, la Fila 2, es construeix així: sumem els dos números de l'anterior i col·loquem el resultat, 2, sota el buit que deixen aquests números, i a l'esquerra i dreta es col·loquen dos uns. Queda així: 1 2 1.
• La quarta fila i les posteriors, es construeixen a l'estil de la tercera: sota cada forat entre dos nombres de la fila anterior s'escriu la suma d'aquests nombres, i a l'esquerra i dreta es col·loquen dos uns. Per exemple:

• Fila 3 quedaria així: 1 3 3 1.
• Fila 4 així: 1. 4 6 4 1.

En la següent imatge es poden veure les primeres nou files del triangle de Pascal:

El seu nom es deu al matemàtic francès Blaise Pascal (i l'altre al matemàtic italià Niccolo Fontana, anomenat Tartaglia per la seva condició de tartamut), encara que sembla que aquest objecte matemàtic ja era conegut a l'antiga Xina.
Vegem unes quantes i interessants propietats d'aquest triangle numèric, algunes d'elles molt populars i altres no tan conegudes i certament curioses.
Primer de tot expliquem perquè anomenar Fila 0 a la primera fila, Fila 1 a la segona, i així successivament. Una raó podria ser la següent: si se sumen els números de la Fila n, el resultat és exactament 2ⁿ: la suma dels de la Fila 0 és 1, que és 2⁰, els de la Fila 1 sumen 2, que és 2¹, els de la Fila 2 sumen 4, que és 2², etc:

Però es podria donar una altra raó: els números de la Fila n són els coeficients del desenvolupament del binomi (a + b)ⁿ.

- (A + b) 0 = 1

- (A + b) 1 = 1 · a + 1 · b

- (A + b) 2 = 1 · a 2 + 2 · b + 1 · b 2

- (A + b) 3 = 1 · a 3 + 3 · a 2 b + 3 · a b 2 + 1 · b 3

- ...

Vegem ara alguns objectes matemàtics que podem trobar de manera senzilla en el triangle de Pascal. Per exemple, és senzill trobar-hi els nombres naturals: són a la diagonal requadrada de la imatge de l'esquerra. I també és fàcil trobar els números triangulars: apareixen a la diagonal requadrada a la imatge de la dreta:

Una mica més amagats, però no massa, hi ha els nombres quadrats: 1, 4, 9, 16, 25, etc. Estan en la mateixa diagonal dels triangulars, sumant cada dos consecutius:

Una altra curiositat numèrica és que si el segon número d'una fila és Primer, llavors la resta de nombres d'aquesta fila (excepte els uns dels extrems) són múltiples d'aquest nombre primer. Per exemple, a la Fila 6, el segon número, 5, és primer, i la resta, 10, és múltiple de 5; i en la Fila 8, el segon número, 7, és primer, i la resta, 21 i 35, són els dos múltiples de 7. Podeu generar vosaltres mateixos més files del triangle i comprovar que aquesta propietat es compleix sempre.
I una altra cosa relacionada directament amb les files: si prenem cada fila com un nombre, tenim les potències d'11 . La Fila 0, 1, és 11⁰; la Fila 1, 11, és 11¹; la Fila 2, 121, és 11²; i així successivament ... Però què passa, per exemple, amb la Fila 5, 1-5-10-10-5-1? Doncs que, realitzant la següent operació:

1- (5 + 1) - (0 + 1) -0-5-1

Obtenim el nombre 161.051, que és de 11⁵. Es pot comprovar que amb la resta de files passa el mateix.
La següent propietat curiosa d'aquest triangle de Pascal és l'anomenat estic d'hoquei: si es comença en un 1 qualsevol i es va en diagonal, la suma de tots els números recorreguts és igual al nombre que es troba a la fila següent, però a la diagonal contrària. A la següent imatge hi ha alguns exemples perquè s'entengui millor:

Ara, una característica menys evident i més rebuscada: es pot trobar la successió de Fibonacci en el triangle de Pascal. La successió de Fibonacci, comença amb F 1 = 1 i F 2 = 1, i la resta de termes es formen sumant els dos anteriors: F n = F n-1 + F n-2 . Concretament, seria aquesta: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. Com trobar-la?

La successió de Fibonacci, molt estudiada i molt comentada a internet, apareix en multitud de situacions en què no se l'esperava, com passa en el triangle de Pascal. Hi ha més successions numèriques amb aquesta característica, com la dels nombres de Catalan, anomenada així pel matemàtic belga Eugène Català. Aquesta successió comença així: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132 ... La forma en què es construeix aquesta successió és una mica més complexa:
On són els números de Català en el triangle de Pascal? Molt senzill: si es pren la columna central i es resta a cada element, el nombre que apareix al seu costat en el triangle:

Com es pot veure, en el triangle de Pascal apareixen tant nombres parells com a nombres senars. Doncs si es lleven els parells s'obte una bonica disposició fractal, coneguda com triangle de Sierpinski:

I ara, un parell de sorpreses que dóna aquesta magnífica construcció. Per a la primera, es treballarà de la següent forma. S'han vist propietats en les quals cal localitzar nombres, altres en què cal sumar els elements col·locats en certes posicions ... però no s'ha vist què passa en multiplicar elements. Doncs bé, si es multipliquen els elements de cada fila, s'obté així la següent llista de números:

{1, 1, 2, 9, 96, 2500, 162000, ...}

Si ara es divideix cada número d'aquesta llista entre l'anterior, s'obté aquesta nova llista:

{1, 2, 4'5, 10'666 ..., 26'0417, 64,8, ...}

Tornant a fer el mateix, dividir cada número d'aquesta nova llista entre l'anterior, queda el següent:
{2, 2'25, 2'370370 ..., 2'44140625, 2'48832, ...}

Si s'analitza el que passa a mesura que augmenta el valor de n, s'obté que els valors d'aquesta llista s'acosten cada vegada més al nombre e. És a dir, realitzant les operacions descrites es pot trobar el nombre i en el triangle de Pascal (enllaç amb la demostració).
I per acabar amb la descripció de curiositats d'aquesta meravella de les matemàtiques, no podien faltar les conjectures. Tot objecte matemàtic que es preï ha de tenir alguna conjectura associada a ell, i el triangle de Pascal no podia ser menys. És clar que, excepte l'1, tot enter positiu apareix en el triangle de Pascal un nombre finit de vegades (per què?). En relació amb això, es conjectura (encara no està ni demostrat ni refutat) que hi ha un nombre M tal que cap sencer positiu apareix més de M vegades en el triangle. És a dir, que el nombre d'aparicions d'un sencer positiu en el triangle de Pascal està fitat superiorment i, a més, aquesta cota no depèn del nombre. Aquesta conjectura es denomina conjectura de Singmaster, i la veritat és que, encara que es creu que és certa, no es té molta informació sobre quina podria ser la cota. Se sap que hi ha un nombre, el 3003, que apareix vuit vegades al triangle, i no es coneix cap més que aparegui tantes vegades. Es pensa que la cota pot ser, com a molt, 10 o 12. Aquest triangle té moltes altres propietats que són dignes de destacar.

Font: Gaussianos