El tangram, Bolyai-Gerwien i la quadratura del cercle

Qui més qui menys ha vist alguna vegada un tangram, aquell joc d'origen xinès consistent en set peces, que inicialment estan disposades en forma de quadrat i, amb les que es poden formar una gran varietat de figures planes. A la següent imatge podeu veure la disposició inicial de les peces del tangram i alguns exemples de figures planes creades amb aquestes peces:

Si es trasllada això a paper, s'hauria de podem tallar un quadrat en un cert nombre de peces (set concretament en el cas del tangram) que poden reordenar-se per formar altres figures (polígons en el cas de la imatge anterior). Un exemple molt conegut és l'anomenada Dissecció de Dudeney, que transforma un quadrat en un triangle de la mateixa àrea. Aquesta dissecció té, a més, la particularitat que es passa d'una figura a una altra girant les peces tallades mentre aquestes romanen unides en parelles per un vèrtex. Podeu veure diverses seqüències en la següent imatge:

A partir d'això, ens podem preguntar si, donat un polígon qualsevol de la mateixa àrea que un quadrat, existiria alguna manera de tallar el quadrat en peces de manera que es puguin recol·locar per formar aquesta figura. Més general: si es tenen dos polígons qualsevols de la mateixa àrea, es poden tallar un en trossets que puguin reordenar-se per formar l'altre? La resposta és que sí, es pot, i això ho assegura l'anomenat teorema de Bolyai-Gerwien, que es pot enunciar com segueix:

Teorema de Bolyai-Gerwien: Donats dos polígons de la mateixa àrea, es pot tallar un d'ells en un nombre finit de peces poligonals que, mitjançant translacions i girs, poden col·locar-se formant l'altre polígon.

Aquest resultat va ser conjecturat per Farkas Bolyai al 1790 i demostrat per primera vegada pel matemàtic William Wallace l'any 1807 (per això, a vegades aquest resultat es diu teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien ). Al 1833, P. Gerwien va demostrar aquest teorema sense conèixer la demostració anterior de Wallace, i al 1835 el propi Bolyai va trobar una demostració també sense tenir coneixement de les proves anteriors de Wallace i Gerwien.

Les línies generals de la demostració són les següents:

1. Tot polígon pot tallar-se en peces triangulars.
2. Aquestes peces triangulars poden reordenar-se formant rectangles.
3. Col·locant convenient aquests rectangles, es pot formar un únic rectangle.
4. Un rectangle pot retallar en peces amb les que es pot formar un quadrat.
5. Com que aquest procés pot realitzar-se amb els dos polígons, el que es fa és passar un d'ells a un quadrat i després passar d'aquest quadrat a l'altre polígon (invertint el procés de quadrar aquest polígon).

I així es va aconseguir portar un polígon a un altre polígon mitjançant disseccions. Tot seguit venen alguns exemples de passos d'un polígon a un altre:

Sabent això, sorgeix de manera natural la pregunta sobre què passa en tres dimensions. I aquesta qüestió és tan interessant que el mateix David Hilbert la va incloure dins de la seva famosa llista de 23 problemes que va proposar al Congrés Internacional de Matemàtics celebrat a París l'any 1900. El tercer dels problemes d'aquesta llista és el que fa al·lusió a aquest tema:

Donats dos políedres del mateix volum, sempre es pot tallar un d'ells en un nombre finit de peces polièdriques que puguin reordenar-se de manera que formin el segon poliedre?

La resposta és no. No sempre es pot fer el que pregunta el tercer problema de Hilbert, i aquesta impossibilitat general va ser demostrada per Max Dehn al mateix any 1900.
I, tornant a les dues dimensions, també va sorgir una interessant i curiosa pregunta que, en aquesta ocasió, la va fer Alfred Tarski. Aquest matemàtic polonès es va preguntar si es podria passar d'un quadrat a un cercle de la mateixa àrea d'una forma semblant al que es pot fer entre polígons (res a veure amb la quadratura del cercle clàssica, ja que aquí no tenim les restriccions de les construccions gregues amb regla i compàs). I la resposta, en aquest cas, és sí; sí que es pot, encara que té truc. Tarski va conjecturar que sí que es podia passar d'un quadrat a un cercle, i el matemàtic hongarès Mikos Laczkovich ho va demostrar al 1990 en el seu treball Equidecomposability and discrepancy; a solution of Tarski 's circle-squaring.
La demostració de Laczkovich diu que es necessitarien, com a molt, 1.050 peces, que les mateixes no són mesurables i, per tant, ni de bon tros tallables.
El fet que no es pot passar d'un cercle a un quadrat amb peces "tallables amb tisores" ja ho havien demostrat Lester Dubins, Morris Hirsch i Jack Karush el 1963, però fins fa poc seguia sense saber-se si es podia fer, almenys, amb peces mesurables. El mateix Laczkovich parlava en el seu treball sobre aquest assumpte, i el deixava plantejat com, possiblement, la pregunta més important que quedava per resoldre en relació a aquest tema.

Bé, doncs ja s'ha resolt. En el treball Measurable circle squaring (que publica la prestigiosa revista Annals of Mathematics), Lukasz Grabowski, András Mathé i Oleg Pikhurko han demostrat que sí que es pot passar d'un cercle a un quadrat amb peces mesurables. És a dir, que hi ha una certa quantitat finita de peces mesurables que al col·locar-les de certa manera, donen un quadrat i convenientment traslladades, donen un cercle.
Usant només translacions, aquest nombre de peces (segons els autors) està entre 4 i 1.050 (la cota Laczkovich), pel que queda encara un gran marge per millorar el resultat.

Font: El Aleph