La resolució de la cúbica: una història plena d'històries

Uns dels temes relacionats amb matemàtiques que es tracten durant la vida acadèmica és el de la resolució d'equacions. Cal aprendre a resoldre'n molts tipus (exponencials, logarítmiques, racionals, trigonomètriques ...), però analitzant els mètodes de resolució es pot concloure que moltes d'elles es redueixen a resoldre una equació polinòmica. Per tant, els mètodes de resolució d'aquestes equacions polinòmiques tenen una gran importància dins d'aquesta part de la formació matemàtica.
Per resoldre aquestes equacions polinòmiques, el primer que es té en compte és el grau d'aquesta equació. Les equacions de grau 1 són senzilles de resoldre (operar, separar termes i aïllar la incògnita), per a les de grau 2 hi ha una fórmula que pràcticament tothom ha treballat i es pot recordar:

Què passa amb les de grau 3 i superiors? Doncs aquí la cosa es torna una mica difusa: algunes es resolen mitjançant factorització, també es poden buscar solucions amb Ruffini (la mítica regla de Ruffini), en alguns casos pot ajudar fer canvis de variable convenients (com en les biquadrades i similars) ... Però el cas és que el grau és més gran o igual que 3 no hi ha una fórmula tipus.
Però, existeixen aquestes fórmules per graus superiors a dos? Doncs sí ... per grau 3 i grau 4. Seguidament expliquem la història que envolta la fórmula de resolució de l'equació de grau 3 o resolució de la cúbica.
La història se situa al segle XVI i té com a protagonistes principals a Niccolo Fontana (anomenat Tartaglia per ser tartamut), Girolamo Cardano, Scipione del Ferro i Ludovico Ferrari i com a actors secundaris a Antonio Maria del Fiore i Annibale della Nave. Sobre la dècada dels 30 d'aquest segle, arriba a oides de Tartaglia que un tal del Fiore posseeix un mètode per resoldre equacions cúbiques. En una època com aquella, en què l'interès per l'àlgebra estava creixent de manera significativa entre els matemàtics a Europa, posseir un mètode per resoldre aquestes equacions resultava valuosíssim. Tartaglia es va posar a treballar en el tema, trobant aquest mètode per si sol.
En aquella època, era habitual organitzar desafiaments entre matemàtics en els quals cadascun proposava problemes que l'altre havia de resoldre. Doncs arran del treball de Tartaglia, se'n va organitzar un que el va enfrontar amb Fiore, resultant Tartaglia guanyador de manera aclaparadora (va resoldre tots els problemes proposats per Fiore, mentre que aquest no va ser capaç de resoldre'n cap dels que li van tocar).

Quan Cardano va tenir coneixement d'aquesta aclaparadora victòria de Tartaglia, va intentar convèncer-lo perquè li revelés el mètode que havia descobert i així poder publicar-lo en la seva obra Ars Magna, que preparava en aquells anys. Tartaglia es va negar en primera instància, al final li va revelar el seu descobriment amb la condició que no ho publiqués.
El que Tartaglia havia descobert eren mètodes per resoldre les equacions cúbiques que no tenen terme de grau dos. Encara que en l'actualitat totes elles es redueixen a una única forma, en aquella època s'expressaven d'aquestes tres maneres, x3 + px = q, x3 = px + qyx3 + q = px, i cadascuna tenia el seu propi mètode de resolució (els números negatius encara no s'acceptaven amb massa naturalitat). A partir d'aquests mètodes, Cardano i el seu ajudant Ludovico Ferrari van aconseguir un mètode per resoldre la cúbica general x3 + x2 + nx = r. Aquesta equació es pot reduir fàcilment a una del tipus x3 + px = q, per la qual cosa només caldria resoldre aquesta. Les seves solucions vénen donades per la següent expressió:

Encara que sembla que només te un valor, en realitat aquesta expressió representa els tres valors de les tres solucions de la cúbica general. Sense entrar en massa detalls, el més interessant d'aquests, i tremendament innovador en aquella època, és que a vegades dues de les solucions contenien arrels quadrades de nombres negatius, donant lloc al que avui coneixem com a nombres complexos.
I aquí ve la clau de la història: Fiore coneixia el mètode de resolució perquè Scipione del Ferro, professor seu, l'hi havia comunicat anys abans. És a dir, de Scipione del Ferro, va ser el primer (que se sàpiga) que va crear un mètode de resolució per a una cúbica. En el 1542, Cardano i Ferrari van viatjar a Bolonya a la recerca dels treballs de del Ferro, i és Della Nau (gendre de del Ferro) qui els hi va proporcionar.
En veure'ls, Cardano va comprovar que el mètode de del Ferro per resoldre la cúbica x3 + px = q era el mateix que el de Tartaglia, pel que va entendre que la promesa que li havia fet aquest de no publicar el seu descobriment, ja no tenia validesa. Cardano va publicar el mètode de del Ferro a Ars Magna en el 1545, i Tartaglia va entrar en còlera. Encara que Cardano el va nomenar diverses vegades en la seva obra, Tartaglia es va sentir traït ...
... I va respondre publicant un any després un llibre amb el seu mètode i amb atacs a Cardano. Aquest no va respondre als atacs, però sí que ho va fer Ferrari. Aquest enfrontament va acabar amb un nou "duel matemàtic" entre Tartaglia i Ferrari que es va convertir en un autèntic fenòmen social. Durant el duel es va produir una discussió per un dels problemes, que es va ajornar per a l'endemà. Però Tartaglia, pel que semblava pel suport de la multitud a Ferrari, no es va presentar, de manera que Ludovico va ser declarat guanyador.
Es pot dir que, bàsicament, aquí s'acaba tot. Com totes les històries, aquesta encara planteja alguns interrogants que, possiblement, mai es podran resoldre. Per exemple, posseir un mètode de resolució de la cúbica proporcionava molt avantatge en els duels entre matemàtics, en els quals en ocasions es podien aconseguir importants recompenses. S'entén que del Ferro li comuniqués a Della Nau el seu descobriment (era el seu gendre), però el que no se sap és per què també ho va comunicar a del Fiore. I una altra pregunta sense resposta és si Tartaglia, de veritat, va desenvolupar ell mateix el seu mètode o "es va inspirar" en treballs anteriors, atribuint-se després l'autoria.
Per acabar, és interessant comentar que també es va publicar un mètode per resoldre les equacions de grau 4. Aquest mètode, desenvolupat per Ferrari, consisteix en reduir (d'una manera molt intel·ligent) l'equació de grau 4, a una cúbica, i després resoldre aquesta cúbica. Amb això es tanca també el cercle amb les equacions de grau quatre.
Què passa amb les de grau 5 i superior? Doncs que no hi ha fórmula general per resoldre-les.

Font: Gaussianos