Equació de Schrödinger en macroescala astrofísica

L'equació de Schrödinger pot descriure els discos d'acreció gegantins que hi ha al voltant de forats negres supermassius.

Tota la física i l'enginyeria estan escrites en el llenguatge de les equacions diferencials.
Aquestes descriuen els ritmes de canvi i relacions entre les diferents variables que descriuen un fenomen. Quan es parla d'un model, aquest no és més que una equació diferencial que tracta de descriure una realitat. Per tant, l'equació diferencial del model no és més que una bona suposició de com funciona aquest sistema físic.
Que es tingui una equació diferencial no vol dir necessàriament que se sàpiga resoldre analíticament. Resoldre significa, en aquest context, obtenir una funció que relacioni les diferents variables sota un determinat conjunt de condicions inicials i de contorn.

Si es tracta d'una equació diferencial en derivades ordinàries, se saben resoldre (analíticament) diversos tipus, sobretot les lineals i bastants de primer ordre, però no les altres. Si es tracta d'equacions diferencials en derivades parcials, només se saben resoldre uns pocs casos.
Per resoldre moltes de les equacions diferencials s'ha de recórrer a algun sistema numèric que corri en algun programa computacional.
Una de les equacions en derivades parcials que sí se sap resoldre analíticament per a molts casos és l'equació de Schrödinger.

Igual que d'altres que sí que se saben resoldre, això es deu al fet que és de tal importància que, en el moment oportú, es va invertir molt esforç en resoldre-la, de la mateixa manera que l'equació de la calor o la de la corda vibrants. A més, és prou senzilla com perquè la seva resolució no sigui un calvari. Encara que, com sempre, per un problema de n cossos no se sap solucionar.
L'equació de Schrödinger descriu l'evolució en el temps d'un sistema quàntic. Malgrat el seu nom i a les males descripcions que circulen per aquí, aquesta equació no té res a veure amb les existència de gats viu-morts (superposició d'estats i col·lapse de la funció d'ones), ja que descriu l'evolució temporal d'un sistema (la funció d'ones), no altres coses.
Ara, Konstantin Batygin (Caltech) se sorprèn en un treball realitzat per ell mateix que l'equació de Schrödinger aparegui per descriure la dinàmica dels discos d'acreció, que no són objectes quàntics, sinó estructures astronòmiques.
Hi ha diversos tipus d'objectes massius astrofísics que estan envoltats per un anell o disc. Pot ser un forat negre, un estel o fins i tot planetes. Aquests discos estan formats per partícules de diferents mides que orbiten al voltant de l'objecte massiu. Això vol dir que les partícules que hi ha en ells estan subjectes no només a la influència gravitatòries l'objecte central, sinó a la que hi ha entre elles i a altres forces a curta distància.

Aquests discos poden ser increïblement grans en alguns casos, arribant a anys llum de ràdio, i mostrar formes que no se circumscriuen a simples discos plans circulars perfectes, sinó que, al llarg de milions d'anys, pateixen distorsions a gran escala, amb doblecs i arrugues. Com sorgeixen i es propaguen aquestes distorsions és un tema d'interès astrofísic, de manera que s'intenta fer simulacions d'aquest tipus de sistemes per comprendre'ls millor.
Un podria pensar que es pot simular aquest tipus de sistemes sense res més que emprar les lleis de Kepler, de Newton i la interacció entre totes les partícules en un model de n cossos, però el que es puguin escriure les equacions no vol dir que aquestes es puguin resoldre en un temps prudencial fins i tot amb els ordinadors més potents. Així que per a poder resoldre aquest tipus de sistemes es desenvolupen models que introdueixen aproximacions. Gràcies a aquestes aproximacions es poden obtenir solucions en un temps prudencial que ens descriguin la dinàmica d'aquests objectes.

Una manera de modelar aquests discos és substituir el disc de partícules per un disc amb moltes circumferències de material sòlid. Cadascun d'aquests fils en forma de circumferència representaria a les partícules que hi ha en un radi donat del centre. Així que un disc d'aquests es pot aproximar a una sèrie de fils massius circulars concèntrics en vibració. Aquests fils massius interactuen uns amb altres a través de la gravetat i poden intercanviar moment angular entre ells. Pel que sembla, aquest model aproximat funciona prou bé i descriu la realitat física i la seva evolució per a milions d'anys amb força precisió. Ha estat usat en el passat en moltes ocasions.
Batygin, en la seva recerca d'una millor vista general, porta aquest model a l'extrem: una situació en la qual hi ha una infinita quantitat de fils concèntrics, de tal manera que el sistema és portat al continu. Doncs, bé, just en aquest cas li apareix l'equació de Schrödinger.
Una variant no lineal d'aquesta equació també es fa servir per descriure sistemes clàssics (no quàntics) com a sistemes òptics o les ones del mar. Però, fins ara, no havia aparegut l'ús de l'equació de Schrödinger tradicional per descriure un sistema clàssic.
El treball d'aquest investigador suggereix que els grans discos astrofísics es comporten de manera similar a les partícules subatòmiques i que la propagació de les seves distorsions poden ser descrites per les mateixes matemàtiques que una partícula quàntica; la funció d'ones ve i va entre la vora exterior i interior del disc. Podem dir que la forma del disc és com la funció d'ones d'una partícula quàntica i que ressona dins una cavitat creada per les vores d'un disc, que són els que defineixen les condicions de contorn.
Gràcies a aquest model, Batygin dedueix les condicions sota les quals el disc es comporta com un sòlid o presenta distorsions que són el resultat d'una sèrie de maneres de vibració.
Si el moment angular dels objectes del disc és transferit d'un a un altre molt més ràpidament que la durada de les pertorbacions, llavors el disc roman rígid. Si, d'altra banda, l'escala de temps d'auto-interacció és gran comparada amb el l'escala temporal de la pertorbació, el disc es distorsiona.
Batygin es mostra intrigat per aquesta connexió entre els mons quàntic i astrofísic que, en principi, no estan relacionats i que, no obstant això, estan governats per matemàtiques similars.
Però no hem de perdre la perspectiva. Els discos d'acreció astrofísics no són objectes quàntics. Per a sistemes amb suficient complexitat, és normal que les matemàtiques implicades donin lloc a equacions que ja es coneixen, com la de Schrödinger que, dit sigui de passada, és relativament senzilla. Ni tan sols l'equació de Schrödinger depèn de la quanticitat, sinó que pot obtenir-se de la física coneguda des del segle XVIII.

No és la primera vegada que passa una cosa semblant. Així, per exemple, les equacions que descriuen cert tipus de reaccions químiques també modelen el crim als carrers. Un altre cas és la descripció matemàtica de sistemes magnètics, que pot usar-se també per a descriure les fructificacions en camps d'arbres de festucs, tal com vam veure fa poc en aquestes mateixes pàgines.
Com el mateix Batygin diu, en cert sentit, les ones que representen les distorsions del disc no són tan diferents de les ones en una corda vibrant que, al seu torn, no és molt diferent del moviment d'una partícula quàntica dins d'una caixa (un pou de potencial). "Sembla que no és una connexió òbvia, però és excitant descobrir l'espina dorsal darrere d'aquesta reciprocitat", afegeix.
El gran avantatge és que l'equació de Schrödinger ha estat profusament estudiada des dels anys vint del passat segle, així que pot ser molt útil per a l'estudi dels objectes astrofísics que posseeixin disc de partícules. Això fa que l'aplicació d'aquesta idea sigui ideal, sobretot, per als objectes astrofísics amb un cos central molt massiu envoltat per un disc, com el dels forats negres supermassius o discs protoplanetaris, però no per a discos galàctics. L'aproximació falla quan l'objecte central no té una massa molt més gran que la del disc. En aquests casos cal anar-se'n a simulacions de n cossos, que són computacionalment molt més costoses.

Font: NeoFronteras