Una igualtat matemàtica plena de bellesa

La identitat d'Euler és, possiblement, la igualtat numèrica més bella que es coneix.

Igual que en altres disciplines, com la literatura, l'art o la música, dins de les matemàtiques també s'hi pot trobar bellesa. La geometria és, possiblement, una de les branques on es poden trobar resultats més bells (com, per exemple, el de la circumferència de Feuerbach), però també es poden trobar belleses matemàtiques jugant amb números (els quadrats màgics habituals i els menys habituals són bons exemples).

Identitat d'Euler

Ni equació (no hi ha en ella cap incògnita) ni fórmula (no hi ha cap relació entre magnituds): igualtat o identitat d'Euler. La identitat d'Euler és una igualtat que relaciona d'una manera preciosa cinc dels nombres més importants i representatius de les matemàtiques: 0, 1, i , i i π . I avui expliquem com es va arribar a aquesta meravellosa relació.
La identitat d'Euler és un cas particular de la coneguda com a fórmula d'Euler (no confondre amb la fórmula d'Euler per a poliedres ), tot i que Roger Cotes ja va publicar alguna cosa relacionada amb aquesta abans que Euler (encara que no escrita de la forma habitual). La fórmula en qüestió apareix a Introduction in analysin infinitorum, possiblement l'obra més coneguda i important del gran Leonhard Euler. A la pàgina 104 del Volum I de la mateixa es pot veure com un desenvolupament anterior culmina en la següent expressió:

Fórmula d'Euler que apareix en l'obra de Leonhard Euler

Prenent v com un angle, i sabent que en l'actualitat a √-1 es representa amb la lletra i, s'obté la que ara coneixem com a fórmula d'Euler:

Una demostració d'aquesta fórmula, seria.
Partint de l'expressió d'e x com a sèrie de potències:

En ella, es substitueix x per iz. Usant que i1 = i , i2 = -1 , i3 = -I i que i4 = 1 (el cicle es repeteix d'aquí en endavant), separant després els termes d'exponent parell d'una banda i els d'exponent imparell d'altra s'obté el següent:

I dóna la meravellosa casualitat que els desenvolupaments en sèrie de cos (z) i sin (z) són exactament aquestes dues últimes sèries (i en aquest ordre). Per tant, es té l'esperada i buscada fórmula d'Euler:

La identitat d'Euler surt de la fórmula d'Euler en substituir z per π, sabent que cos (π) = - 1 i sin (π) = 0 i sumant 1 a banda i banda de l'equació:

La tremenda bellesa que envolta a aquesta identitat fa que aparegui de manera recurrent en molts llocs. És magnífica per aparèixer en obres d'art, i els grafits donen una bona prova d'això. N'hi ha molts que tenen a la identitat d'Euler com a protagonista i, concretament a Granada, se'n poden trobar uns quants. A la imatge ha ha un parell d'exemples. A l'esquerra hi ha una que es pot veure al carrer Gonzalo Gallas, sortint per la porta del darrere de la Facultat de Ciències. I a la dreta n'hi ha una altra a la paret d'una casa al camp que troba en alguna de les sortides que hi ha a l'autovia Jaen-Granada:

També es pot trobar en aquesta meravellosa sèrie d'humor que porta retratant a la societat americana des de fa molts molts anys: Els Simpson. El frikisme científic és una característica comuna a gran part dels seus guionistes, i això ha propiciat que aquesta identitat aparegui en diversos capítols. Aquí venen algunes imatges dels mateixos:

La identitat d'Euler a 'Los Simpson'

I, és clar, és també perfecta per modificacions corporals. És habitual veure-la en tatuatges:

o en aquesta:

Font: Gaussianos