La meravellosa harmonia que amaguen els quadrats màgics

Definir quadrat màgic és senzill: és un quadrat de nombres en el qual totes les files, totes les columnes i les seves dues diagonals sumen la mateixa quantitat, anomenada constant màgica. Entre ells, podria dir-se que els més especials són els que contenen una certa quantitat de nombres enters positius consecutius començant a l'1. Suposant que un quadrat màgic té n files i n columnes, aquests serien els que contenen els nombres enters positius des de l'1 fins al n 2. Per exemple, tot seguit mostrem un d'aquests quadrats màgics amb 4 files i 4 columnes:

Quadrat màgic d'ordre 4

Es pot veure que totes les files, totes les columnes i les dues diagonals sumen 34, que seria llavors la constant màgica del quadrat. En general, per aquests quadrats màgics especials hi ha una fórmula per calcular aquesta constant màgica. Essent n el nombre de files i de columnes, aquesta constant és n (n2+1)/2-
Aquest no és l'únic quadrat màgic d'ordre 4. De fet hi ha 880 quadrats màgics d'aquesta mida (ho va calcular Frenicle de Bessy al 1693). Per completar això, hi ha un únic quadrat màgic d'ordre 1, no n'hi ha cap d'ordre 2. Hi ha solament un quadrat màgic d'ordre tres (excepte rotacions i reflexions) i exactament 275.305.224 quadrats màgics d'ordre 5. Per ordres superiors no se sap amb exactitud quants n'hi ha.
Pel que fa a la seva història, simplement comentar que al tercer mil·lenni A.C. a la Xina ja es coneixien, i que altres civilitzacions antigues com els egipcis, els grecs o els àrabs també van tenir coneixement de la seva existència, atribuint habitualment propietats místiques. Segons el que se sap, els quadrats màgics van arribar a Europa al voltant del segle XIV, i molts dels grans matemàtics posteriors a aquesta data es van interessar per ells.
Però, com construir quadrats màgics? És a dir, hi ha algun algoritme mitjançant el qual es puguin construir els quadrats màgics? Doncs sí, se sap i, a més, es poden construir quadrats màgics de qualsevol ordre, encara que el mètode de construcció depèn de quin sigui aquest ordre.

Quadrats màgics d'ordre imparell
Per aquest tipus de quadrats màgics es coneixen diversos mètodes de construcció. Seguidament expliquem el mètode de Loubère, i es deu al matemàtic francès Simon de la Loubère. Aquest mètode és el següent:
Col·locar l'1 a la posició central de la fila superior i, després, a partir de l'1 i en ordre creixent, es van col·locant la resta de nombres en diagonal. Si en algun moment toca posar un nombre en una posició ja ocupada, es col·loca dit nombre a sota del que s'havia col·locat just abans.
Com que la col·locació en diagonal a vegades pot ser una mica embolicada, un truc pot ser: si un nombre s'ha col·locat en la posició de la fila p i la columna q, posició (p, q), el següent es col·loca en la posició (p-1, q + 1), tenint en compte que si es passa de n es torna a 1 i es baixa d'1 tornant a n. Si aquesta posició està ocupada, col·loquem el nombre sota de la posició (p, q).
Per utilitzar aquest mètode per construir un quadrat màgic d'ordre 5, es comença amb l'1 a la posició (1,3); el 2 anirà en la (5,4); el 3 a la (4,5); el 4 a la (3,1); el 5 a la (2,2); el 6 havia d'anar a la (1,3), però ja que està ocupada (per l'1) es col·loca a sota del 5, en la posició (3,2); el 7 aniria ara a la (2,3); el 8 a la (1,4); el 9 a la (5,5); el 10 a la (4,1); l'11 aniria en la (3,2), però aquí ja hi ha el 6, per la qual cosa es col·loca sota del 10, en la posició (5,1); i així successivament. Ens quedaria el següent quadrat màgic:

Quadrat màgic d'ordre 5

Es pot comprovar que totes les files, totes les columnes i les dues diagonals sumen 65 , que és la constant màgica d'aquests quadrats màgics d'ordre 5.
Amb els d'ordre parell. En aquest cas, s'ha de distingir dos casos: els que tenen ordre 4k (4, 8, 12, 16, 20 ...) i els que tenen ordre 4k + 2 (6, 10, 14, 18, 22 ...).

Quadrats màgics d'ordre 4k
Per construir aquest tipus de quadrats màgics, es fa el següent:
Col·locar els números des de l'1 fins el núm per files en ordre creixent. Després, es deixa tal qual el quadrat central d'ordre n/2 i els quadrats de les cantonades d'ordre n/4. I ara s'intercanvien els que queden a dalt amb els que queden a baix, col·locant-los en ordre decreixent, i els que queden a l'esquerra amb els que queden a la dreta, invertint també l'ordre . El quadrat resultant és un quadrat màgic d'ordre 4k.
Per si la cosa no ha quedat gaire clara, seguidament mostrem a exemple un quadrat màgic d'ordre 8. A l'esquerra es pot veure el quadrat inicial, amb els números col·locats en files en ordre creixent i en el qual s'han destacat els números que es canviaran mitjançant un fons groc (els que tenen fons blau seran els que es deixaran on estan). A la dreta hi ha el quadrat màgic que queda en intercanviar com s'ha descrit abans:

Quadrat màgic d'ordre 8

Quadrats màgics d'ordre 4k + 2
Els mètodes de construcció d'aquests quadrats màgics són una mica més complexos. Els següents enllaços ho expliquen:

· Mètode LUX

· Mètode Strachey

Tornant al quadrat màgic de 4x4:

Quadrat màgic de Dürer

Aquest quadrat màgic és molt famós per aparèixer en l'obra Malenconia I d'Alberto Dürer. Seguie es pot veure una imatge de l'obra al complet:

Malenconia I

I és tremendament interessant per moltes coses. Com s'havía vist abans, la constant màgica d'aquest quadrat és 34: totes les files, totes les columnes i les dues diagonals sumen 34.

Font: Gaussianos