S'ha descobert el Primer de Mersenne número 50

Aquest any 2018, ha començat be per a les matemàtiques en general i per als nombres Primers en particular. El passat dia 3 de gener de 2018, el grup GIMPS anunciava el descobriment (i la confirmació) del Primer de Mersenne número 50. Aquest Primer de Mersenne té ni més ni menys que 23249425 dígits, i es converteix en el major nombre Primer conegut fins a la data, superant l'anterior, també un Primer de Mersenne (el número 49) en gairebé un milió de dígits.

Aquest Primer de Mersenne, el nombre 50 que es troba i que es designarà com M_ {77232917}, és el següent:

Té més de 23 milions de dígits. És pràcticament impossible poderse'n fer una idea de les enormes dimensions d'aquest M_ {77232917}. Per això imaginem els següent exemples:

Imaginar tenir un milió d'euros. El nombre 1000000 té 7 dígits ...
suposant que escriviu tremendament ràpid, diguem 3 dígits per segon, doncs amb aquesta freqüència d'escriptura, i sense parar en cap moment, es trigaria gairebé 90 dies a escriure'l sencer.
En aquest enllaç, hi ha la llista completa dels Primers de Mersenne. És interessant destacar que, a dia d'avui, s'ha confirmat aquesta llista fins al Primer de Mersenne nombre 45. Això vol dir que fins aquest nombre ja se sap que no hi ha més Primers de Mersenne entre els que es coneixen. Per a la resta, de 46 a 50, podria passar que hi hagi algun altre Primer de Mersenne entre dos d'ells que encara no s'ha descobert.

És interessant recordar que els nombres de Mersenne són nombres de la forma Mn = 2n -1 i el seu nom es deu a Marin Mersenne. Amb aquest nou descobriment, se sap que 50 d'ells són primers, havent estat descoberts els més grans pel citat grup GIMPS. D'aquests nombres de Mersenne se sap que perquè siguin primers necessàriament l'exponent n'ha de ser també un nombre Primer, encara que no sempre que es prengui com a exponent un nombre primer s'obtindrà un Primer de Mersenne (per exemple, 211 -1 = 2047 = 23·89).

També se sap que cada Pprimer de Mersenne té associat un nombre perfecte, és a dir, un nombre que és igual a la suma dels seus divisors (exceptuant al propi nombre):
Si 2n -1 és un Primer de Mersenne, llavors el nombre 2n-1 -1 ·(2n -1) és un nombre perfecte.
Per exemple, per n = 3 tindrem que com 23 -1 = 7 és Primer, el nombre 23-1 ·(23 -1) = 28 és un nombre perfecte. I efectivament ho és, ja que:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Per tant, en aquest cas tenim que el nombre 277232917-1·(277232917 -1) és un nombre perfecte.

Font: Gaussianos