Fins i tot els genis s'equivoquen

Tots, absolutament tots, ens equivoquem en alguna ocasió. Tots hem comès un error en algun moment, tots hem hagut de rectificar alguna vegada i tots hem pensat en alguna ocasió que el nostre argument era correcte i al final ens hem adonat que no era així.
D'altra banda, en tots els àmbits del coneixement hi ha figures icòniques, ídols, mestres, personatges que han marcat profundament la història i el desenvolupament d'aquesta branca. Persones que, per la seva omnipresència en aquest àmbit, semblen infal·libles. Però no, ni tan sols ells ho són.
Leonhard Euler és un dels matemàtics més importants i influents de la història de les matemàtiques. Pocs poden, si més no, acostar-se a la seva productivitat i a la importància dels seus treballs. Euler, el matemàtic més prolífic de la història de les matemàtiques, també es va equivocar.

L'any 1637, Pierre de Fermat va deixar per a la posteritat una conjectura anomenada Últim teorema de Fermat (en endavant UTF), sobre potències de nombres enters positius escrita al marge d'un llibre que va resultar ser un dels enigmes matemàtics que més temps han perdurat sense demostració. Finalment, va ser Andrew Wiles, el 1995, qui va demostrar que l'UTF era cert.

L'UTF deia bàsicament el següent:

Si n és un enter positiu més gran que 2, no hi ha nombres enters positius x, i i z tals que x n + i n = z n

Molts van ser els matemàtics que van intentar demostrar o refutar aquesta conjectura, i molts també els que van realitzar aportacions importants sobre la mateixa, entre ells Euler.
Però no parlarem d'aquesta conjectura, sinó d'una altra. Al 1769, en el transcurs de les seves investigacions sobre aquest problema, Euler va proposar una conjectura que, en cert sentit, generalitza a UTF. La coneguda com conjectura d'Euler podria enunciar d'aquesta manera:

Igual que un cub no pot ser suma de dos cubs (necessitaríem almenys tres cubs), una quarta potència no pot ser suma de tres quartes potències (en necessitaríem almenys quatre), i una cinquena potència no pot ser suma de quatre cinquenes potències (en necessitaríem almenys cinc), i, en general, una potència d'exponent n no pot ser suma de n-1 potències d'aquest exponent n.

Que una potència 3 (un cub) no pot ser suma de 2 potències 3 (que és el cas n = 3 de l'UTF) ho va demostrar el propi Euler; la resta de l'enunciat anterior és el que va conjecturar. Això significaria que l'equació:

x 4 + i 4 + z 4 = s 4

No tindria solució per a valors enters positius de totes les seves incògnites. I el mateix passaria amb l'equació:

x 5 + i 5 + z 5 + t 5 = s 5

I, en general, amb n-1 potències d'exponent n, per n major o igual que 4.

Així va quedar la cosa, sense avenços ni cap a un costat ni cap a l'altre, fins al 1911. Una de les coses que va conjecturar Euler era que calia sumar almenys quatre potències quartes per obtenir una potència quarta, però no es coneixia cap exemple que necessités exactament quatre d'aquestes potències. En aquest any, el 1911, R. Norrie presentava el primer exemple conegut:

30 4 +120 4 +272 4 +315 4 = 353 4

Per la qual cosa es pot dir que aquesta petita part de la conjectura era certa. Després es van trobar més exemples com aquest per n = 4, i per a altres valors de n també es coneixen exemples, com per n = 5 (Sastry):

7 5 + 43 5 + 57 5 + 80 5 + 100 5 = 107 5

Per n = 7 (Dodrill):

127 7 + 258 7 + 266 7 + 413 7 + 430 7 + 439 7 + 525 7 = 568 7

O per n = 8 (Scott Chase):

90 8 + 223 8 + 478 8 + 524 8 + 748 8 + 1088 8 + 1190 8 + 1324 8 = 1409 8

Però la resta de la conjectura seguia igual, sense demostrar-se ni refutar...

... Fins al 1966. En aquell any, LJ Lander i TR Parkin publicaven l'article A counterexample to Euler 's Sum of Powers Conjecture que, a més de contenir molta més informació sobre aquest tema, incloïa el primer contraexemple conegut per al cas n = 5:

27 5 +84 5 +110 5 +133 5 = 144 5

La conjectura d'Euler era falsa per n = 5! Més endavant es van trobar més contraexemples per a aquest cas, com aquest de Roger Frye al 2004:

55 5 + 3183 5 + 28969 5 + 85282 5 = 85359 5

Però com s'ha comentat, això només resolia part de la conjectura, ja que, per exemple, el cas n = 4 seguia obert ... fins al 1988, any en el qual Noam Elkies trobava un mètode per generar infinits contraexemples de la conjectura d'Euler. El més petit d'ells és aquest:

2682440 4 + 15.365.639 4 + 18.796.760 4 = 20.615.673 4

La conjectura d'Euler també era falsa per n = 4! I no només per un contraexemple, sinó per infinits. A més, els que genera el mètode de Elkies no són els únics, ja que aquest mateix any 1988, seguint la línia de les tècniques de Elkies, Roger Frye trobava el contraexemple més petit possible per n = 4:

95.800 4 + 217.519 4 + 414.560 4 = 422.481 4

I si es para de comptar, no se sap si la conjectura és certa o falsa per n gran o igual que 6. De fet, per n = 6 ni tan sols es coneixen exemples de sis potències sisenes la suma doni com a resultat una potència sisena, i el mateix per n gran o igual que 9. Amb un ordinador potent es possible intentar trobar exemples o contraexemples de tots aquests casos.

En resum, malgrat la seva enorme capacitat i la seva magnífica intuïció per a les matemàtiques, Euler es va equivocar amb la seva conjectura. Bé, en realitat fins ara es sap que estava equivocat almenys en part (per n = 4 i per n = 5). Encara que caldrà esperar per saber si també va errar per a la resta de valors o si, per contra, en aquests casos tenia raó, podem dir que Euler també va fallar, almenys en aquesta ocasió. Fins als genis s'equivoquen .

Font: Gaussianos