Proposem el següent petit
experiment. És possible trobar una caixa que tingui totes les seves cares
diferents a una llar?. No val una capsa de sabates, ja que les seves cares són
(habitualment) iguals per parelles.
Possiblement no, ja que
normalment les caixes que estan disponibles solen tenir totes forma de cuboide
(la de sabates). Encara que pot ser que hagi estat possible localitzar-ne
alguna amb una forma estranya que pugui servir com a exemple de caixa amb totes
les seves cares diferents, ja que en realitat sí que es poden trobar caixes amb
aquesta característica. Per exemple, es pot agafar un cuboide i tallar-li un
trosset de la següent manera:
 |
| Prisma1 | font: http://www.interaula.com/matweb/gespac/prisma/prisma.htm |
Evidentment, quan es parla de
caixa en aquest context es vol dir
poliedre (és a dir, una figura geomètrica en tres dimensions que les seves
cares són planes (polígons) i el volum interior és finit) convex (és a dir, que
compleix que tot segment que uneix dos punts del poliedre està contingut a
l'interior del propi poliedre). Però pel que fa a que les seves cares siguin
totes diferents cal afinar una mica més. S'ha vist que hi ha poliedres que
tenen totes les seves cares diferents, però n’hi haurà que les cares siguin
totes polígons amb un nombre diferent de costats? És a dir, buscar un poliedre
on no es repeteixi cap polígon en el que a nombre de costats es refereix: que
no hi hagi dos o més triangles, ni dos o més pentàgons, etc. Es pot trobar ara
algun poliedre amb aquesta característica?
Abans de respondre intenteu
que no influeixi la idea de regularitat polièdrica i pensar en la tremenda
varietat que es pot trobar al món dels poliedres, i també en la barbaritat de
polígons que es poden fer de cara d'un poliedre...
La resposta: no es pot trobar
cap poliedre amb les cares siguin totes polígons amb números diferents de
costats. Per demostrar-lo cal veure el llibre Mapes del metro i xarxes neuronals, de Claudi Alsina.
Suposant que es te un
poliedre convex P que té un nombre
de cares igual a C. S'¡anomena R a la quantitat de nombres naturals i
per als quals el poliedre P té
almenys una cara amb i arestes. Per
exemple, un cub té R = 1, ja que
només hi ha un nombre natural per al qual el cub té cares amb aquesta quantitat
d'arestes: el 4. I anomenta ara K al nombre d'arestes que té la cara de
P amb més arestes. En el cub que es
tindrà K = 4, ja que aquesta és la
major quantitat d'arestes que té una cara d'un cub.
Vegent un altre exemple per
aclarir una mica més l'assumpte. Si P
és el prisma de base hexagonal que es pot veure a la dreta, es te que R = 2, ja que hi ha dos nombres
naturals per als quals aquest prisma té almenys una cara amb aquestes
quantitats d'arestes: el 4 i el 6. D'altra banda, K = 6 en aquest prisma, que és el major nombre d'arestes que té una
cara del mateix.
 |
| Prisma 2 | font: http://www.interaula.com/matweb/gespac/prisma/prisma.htm |
Bé, aclarit això i jugant una mica amb aquests nombres.
Evidentment P té almenys una cara
amb K arestes (ja que K era el nombre màxim d'arestes que
tenia una cara de P). Però cada
aresta d'aquesta cara és també aresta d'una altra cara de P, el que dóna K cares
més. Per tant, el nombre de cares de P
és, almenys, K +1 (la qual té K arestes més les K cares corresponents a aquestes arestes). Amb això s'arriba a la
primera expressió interessant:
D'altra banda, les cares de P podran tenir 3 arestes (no poden
tenir menys, no serien polígons), o 4 arestes, o 5, ..., o K (que era el nombre màxim d'arestes d'una cara de P). Si totes les cares tinguessin un
nombre diferent de costats, tots aquests números serien algun del conjunt {3,4,5, ..., K}, conjunt en el que hi
ha K-2 nombres. Però s'ha dit abans
que R és la quantitat de nombres i
per als quals hi ha una cara amb i arestes.
Per tant R no pot ser més gran que K-2. I això dóna una segona relació
Que es pot escriure així:
Ja gairebé s'ha acabat.
S'obtenen aquestes dues relacions:
D'elles s'obté el següent:
És a dir, ha de ser
Però, i aquí hi ha la clau,
pensant en com seria tot això si el
poliedre inicial tingués totes les seves cares amb un nombre diferent de
costats. S'ha dit que C és el seu
número de cares i que R és la
quantitat de "números de costats diferents", és a dir, de nou el
nombre de cares (recordar que s'està suposant que totes les cares tenen números
de costats diferents). Això vol dir que en el poliedre hauria de ser C = R, expressió que entra en
contradicció amb l'obtinguda fa uns instants,
La conclusió de tot això és
que, com s'ha comentat abans, no hi ha políedres convexos en què totes les
seves cares tinguin un nombre diferent de costats.
Font: Naukas
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada
Aquest és un blog amb moderador dels comentaris. Per tant, no apareixen immediatament