Meravelles que sorgeixen amb els quadrats màgics

Els quadrats màgics són un dels objectes lúdic-matemàtics més coneguts. S'han estudiat fins a la sacietat des de l'antiguitat, apareixen en obres d'art (com el de Dürer) i en monuments importants (com el de la Sagrada Família), i es pot trobar una ingent quantitat d'informació sobre ells tant en llibres com a internet. Però, tot i això, encara hi ha propietats interessants i sorprenents relacionades amb ells que, tot i que se saben certes des de ja uns anys, no són massa conegudes.

La cosa va de quadrats màgics vistos com a matrius. Si es pren el (essencialment) únic quadrat màgic 3 × 3 que té els números de l'1 al 9 i es veu com una matrix 3 × 3, A:

Què passa si es multiplica per si mateix com es multipliquen habitualment les matrius?

Si se sumen les files i les columnes, s'obté el mateix resultat, 225, però en sumar els elements de les diagonals això no passa. Llàstima, no ha quedat un quadrat màgic ... però.... multiplicant ara el resultat de nou per A:

Sumant ara files, columnes i diagonals ... Aquest sí que és un quadrat màgic. Totes les files, totes les columnes i les dues diagonals sumen 3375. És a dir, per aquesta matriu màgica A hi ha també A³ que és una matriu màgica.
Si es calcula A⁴, no s'obté una matriu màgica, però es pot comprovar que A⁵ sí que ho és. En general, tota potència imparell de la matriu màgica A torna a ser una matriu màgica.
Un altre exemple en què això també passa, és en la següent matriu màgica, B, la constant màgica (suma de files, columnes i diagonals) és 39:

En aquest cas passa el mateix: les potències parells no són matrius màgiques, però les potències senars sí que ho són. Calculant B²:

I si ara es calcula B³3 (es pot comprovar que, efectivament, s'obté una matriu màgica):

Tota matriu màgica de 3 × 3 compleix que les seves potències senars són també matrius màgiques.
Aquesta curiosíssima propietat no es compleix només amb potències senars de la mateixa matriu màgica, sinó que es compleix amb productes de qualsevol de les matrius màgiques. Això és:

Qualsevol producte d'un nombre imparell de matrius màgiques 3 × 3 és al seu torn una matriu màgica
És igual que siguin la mateixa multiplicada tres vegades, que es multipliqui una o dues vegades i després es faci el producte amb una altra, o que les tres siguin diferents: sempre s'obtindrà una matriu màgica en multiplicar tres matrius màgiques, i a més no importa l'ordre en el qual es facin aquests productes.

Possiblement, és la propietat dels quadrats màgics més bella de totes, i a més no és massa complicada de demostrar, ja que utilitza matemàtiques relativament bàsiques.
Tot comença amb una interessant característica que té l'estructura d'un quadrat màgic 3 × 3. Martin Gardner la comentava Some New Discoveries About 3 × 3 Magic Squares , 1995, però ja es coneixia des d'uns quants anys abans. És la següent (l'escric en forma de matriu):
Tota matriu màgica 3 × 3 té la següent estructura:

Essent K = 3_a la constant màgica i b, c nombres arbitraris.
Això és fàcil de demostrar, i es coneix (almenys) des del 1938, quan Jack Chernick va publicar el seu treball Solution of the General Magic Square. Allà podeu veure una demostració d'aquest fet.
A partir d'aquí, demostrar que tot producte imparell de matrius màgiques és de nou una matriu màgica tampoc és massa complicat, però sí una mica laboriós. La idea és descompondre la matriu màgica M que s'acaba de mostrar en una intel·ligent combinació de matrius màgiques que tenen unes propietats molt interessants, i després operar-hi.
Després de tot això, seria lògic pensar en si passa alguna cosa semblant per a matrius d'ordre superior. Bé, doncs es creu que aquesta màgica propietat de les matrius màgiques es compleix per a qualsevol ordre imparell, però, encara no està demostrat.

Font: Gaussianos