Les matemàtiques dels escutoides

Fa poques setmanes, sortia a la llum una de les notícies científiques més importants dels últims temps: s'havia trobat una nova estructura geomètrica relacionada amb les cèl·lules: l'escutoide (en anglès, scutoid). Era Nature el mitjà que ho publicava amb l'article "Scutoids are a Geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia", i amb aquesta publicació es coneixia que els responsables d'aquest descobriment són un grup de científics espanyols liderat per Luis María Escudero.

Si s'escriu a Google (o en el seu cercador favorit) "escutoide" o "scutoid" es poden trobar ja milers de referències. En totes s'assenyala que s'ha descobert una forma geomètrica nova i que aquesta és la forma que adopten certes cèl·lules. 

Fa algun temps, Luisma Escudero va proposar que s'intenti descriure l'estructura de les cèl·lules que componen els diferents teixits des d'un punt de vista matemàtic. Ells ja ho havien fet en un cas molt simple (es pot dir que 2-dimensional) usant diagrames de Voronoi. Donat un conjunt de punts o objectes en el pla o en l'espai, cada regió de Voronoi és el lloc geomètric dels punts del pla o de l'espai més propers a un dels objectes. 

Se sap que els diagrames de Voronoi reflecteixen la zona d'influència de punts (o objectes). I si es fan créixer uns cercles al mateix ritme a partir de punts fixos del pla, s'obté el diagrama de Voronoi dels centres dels cercles. Això queda il·lustrat en la figura següent, en què es representen els cercles creixent com cons amb la mateixa obertura i vèrtexs en els punts als quals volem calcular el diagrama de Voronoi:

Si es mira la figura des de dalt, veiem el diagrama de Voronoi:

Això ve motivat perquè se suposa que cada cercle en créixer exerceix la mateixa "força". Aquesta va ser la idea que van aprofitar Luisma Escudero i alguns col·laboradors per desenvolupar el model d'empaquetament de cèl·lules en 2D.

No obstant això, donar el pas a estructures tridimensionals no és trivial, ja que si es generalitza l'anterior s'obté un diagrama de Voronoi 3D que no presenta una organització com la que es manifesta en els teixits epitelials. Aquests són com una capa delimitada per dues superfícies paral·leles (denominades superfícies basal i apical), i les mateixes cèl·lules que apareixen a la basal es veuen en la apical. Això havia portat, fins al moment, a representar les cèl·lules de teixits epitelials com prismes o piràmides truncades amb una base a la superfície basal i una altra a la apical. No obstant això, aquest model no es correspon amb l'organització de les cèl·lules en els teixits epitelials. Luisma i el seu grup havien comprovat que les cèl·lules que es toquen en cadascuna de les superfícies no són les mateixes i que els prismes són massa rígids per admetre les curvatures que presenten aquests teixits. Les dues són pegues importants: la segona perquè no modelen bé des del punt de vista geomètric; la primera perquè és fonamental saber quines cèl·lules estan en contacte amb altres des del punt de vista de la biologia.

Així que calia trobar una forma geomètrica que modelés bé les cèl·lules dels teixits epitelials, que es pogués plegar i adoptar diferents curvatures, la forma correspongués a un model d'equilibri de forces (i per tant que es pogués representar com un diagrama de Voronoi) i que fos des de la superfície basal fins a la apical, però sense haver de tenir els mateixos contactes en ambdues superfícies.

Una primera proposta, va ser usar els prismatoides que havien permès a Paco Santos la refutació de la conjectura de Hirsch, però aviat es va veure que no s'ajustaven bé a algunes de les observacions realitzades pels biòlegs. Així que es va arribar als escutoides.

Com es defineix el que és un escutoide? Per això es necessiten alguns conceptes previs. En primer lloc, cal modelar els teixits epitelials. Fent això amb una superfície, que va representar la superfície basal, i mitjançant transport paral·lel es defineix la superfície apical. L'epiteli és tota la regió compresa entre totes dues. El següent pas és definir unes "llavors". Per a això, cal escollir uns quants punts aleatòriament en la superfície basal i construir, sobre aquests punts, els segments en la direcció de la normal en cada punt que uneix les capes basal i apical. Cada un d'aquests segments talla a les transformades paral·leles de la capa basal en un punt i ara el que fem és, per a cadascuna d'aquestes transformades paral·leles, construir el diagrama de Voronoi dels punts resultants. No és un diagrama en el pla. Finalment, per formar un escutoide cal unir cadascuna de les regions corresponents a punts del mateix segment.

Si el que es busca és una descripció, tot i no ser simple, es pot dir que un escutoide és un sòlid geomètric entre dues superfícies paral·leles tal que les restriccions a cadascuna de les superfícies (i la resta de les superfícies paral·leles entre elles) són polígons ( delimitats per geodèsiques), i els vèrtexs d'aquests dos polígons estan units per una corba o per una connexió en forma de lletra i. Les cares dels escutoides no són necessàriament convexes, de manera que diversos escutoides poden empaquetar per omplir tot l'espai entre les dues superfícies paral·leles.

Una imatge de l'aspecte dels escutoides, i com s'acoblen, pot ser la següent:

Una de les claus era tractar d'interpretar per què de vegades els veïns de Voronoi d'una cèl·lula eren els mateixos en les superfícies apical i basal i altres no. Llavors es va veure que amb aquest model això quedava plenament justificat i que s'ajustava a les observacions que s'havien fet: si la superfície tenia les dues curvatures principals iguals, es pot demostrar que els veïns de Voronoi han de coincidir (això passa pel pla i l'esfera). I com més divergència hi hagi entre les dues curvatures (en funció del gruix de l'epiteli o distància entre superfícies), més canvis de veïns hi ha. A més, aquests canvis es produeixen en la direcció de la menor de les curvatures. Totes aquestes prediccions es van veure confirmades amb els mesuraments duts a terme per l'equip de biologia.

Font: Gaussianos

Meravelles que sorgeixen amb els quadrats màgics

Els quadrats màgics són un dels objectes lúdic-matemàtics més coneguts. S'han estudiat fins a la sacietat des de l'antiguitat, apareixen en obres d'art (com el de Dürer) i en monuments importants (com el de la Sagrada Família), i es pot trobar una ingent quantitat d'informació sobre ells tant en llibres com a internet. Però, tot i això, encara hi ha propietats interessants i sorprenents relacionades amb ells que, tot i que se saben certes des de ja uns anys, no són massa conegudes.

La cosa va de quadrats màgics vistos com a matrius. Si es pren el (essencialment) únic quadrat màgic 3 × 3 que té els números de l'1 al 9 i es veu com una matrix 3 × 3, A:

Què passa si es multiplica per si mateix com es multipliquen habitualment les matrius?

Si se sumen les files i les columnes, s'obté el mateix resultat, 225, però en sumar els elements de les diagonals això no passa. Llàstima, no ha quedat un quadrat màgic ... però.... multiplicant ara el resultat de nou per A:

Sumant ara files, columnes i diagonals ... Aquest sí que és un quadrat màgic. Totes les files, totes les columnes i les dues diagonals sumen 3375. És a dir, per aquesta matriu màgica A hi ha també A³ que és una matriu màgica.
Si es calcula A⁴, no s'obté una matriu màgica, però es pot comprovar que A⁵ sí que ho és. En general, tota potència imparell de la matriu màgica A torna a ser una matriu màgica.
Un altre exemple en què això també passa, és en la següent matriu màgica, B, la constant màgica (suma de files, columnes i diagonals) és 39:

En aquest cas passa el mateix: les potències parells no són matrius màgiques, però les potències senars sí que ho són. Calculant B²:

I si ara es calcula B³3 (es pot comprovar que, efectivament, s'obté una matriu màgica):

Tota matriu màgica de 3 × 3 compleix que les seves potències senars són també matrius màgiques.
Aquesta curiosíssima propietat no es compleix només amb potències senars de la mateixa matriu màgica, sinó que es compleix amb productes de qualsevol de les matrius màgiques. Això és:

Qualsevol producte d'un nombre imparell de matrius màgiques 3 × 3 és al seu torn una matriu màgica
És igual que siguin la mateixa multiplicada tres vegades, que es multipliqui una o dues vegades i després es faci el producte amb una altra, o que les tres siguin diferents: sempre s'obtindrà una matriu màgica en multiplicar tres matrius màgiques, i a més no importa l'ordre en el qual es facin aquests productes.

Possiblement, és la propietat dels quadrats màgics més bella de totes, i a més no és massa complicada de demostrar, ja que utilitza matemàtiques relativament bàsiques.
Tot comença amb una interessant característica que té l'estructura d'un quadrat màgic 3 × 3. Martin Gardner la comentava Some New Discoveries About 3 × 3 Magic Squares , 1995, però ja es coneixia des d'uns quants anys abans. És la següent (l'escric en forma de matriu):
Tota matriu màgica 3 × 3 té la següent estructura:

Essent K = 3_a la constant màgica i b, c nombres arbitraris.
Això és fàcil de demostrar, i es coneix (almenys) des del 1938, quan Jack Chernick va publicar el seu treball Solution of the General Magic Square. Allà podeu veure una demostració d'aquest fet.
A partir d'aquí, demostrar que tot producte imparell de matrius màgiques és de nou una matriu màgica tampoc és massa complicat, però sí una mica laboriós. La idea és descompondre la matriu màgica M que s'acaba de mostrar en una intel·ligent combinació de matrius màgiques que tenen unes propietats molt interessants, i després operar-hi.
Després de tot això, seria lògic pensar en si passa alguna cosa semblant per a matrius d'ordre superior. Bé, doncs es creu que aquesta màgica propietat de les matrius màgiques es compleix per a qualsevol ordre imparell, però, encara no està demostrat.

Font: Gaussianos

S'ha descobert el Primer de Mersenne número 50

Aquest any 2018, ha començat be per a les matemàtiques en general i per als nombres Primers en particular. El passat dia 3 de gener de 2018, el grup GIMPS anunciava el descobriment (i la confirmació) del Primer de Mersenne número 50. Aquest Primer de Mersenne té ni més ni menys que 23249425 dígits, i es converteix en el major nombre Primer conegut fins a la data, superant l'anterior, també un Primer de Mersenne (el número 49) en gairebé un milió de dígits.

Aquest Primer de Mersenne, el nombre 50 que es troba i que es designarà com M_ {77232917}, és el següent:

Té més de 23 milions de dígits. És pràcticament impossible poderse'n fer una idea de les enormes dimensions d'aquest M_ {77232917}. Per això imaginem els següent exemples:

Imaginar tenir un milió d'euros. El nombre 1000000 té 7 dígits ...
suposant que escriviu tremendament ràpid, diguem 3 dígits per segon, doncs amb aquesta freqüència d'escriptura, i sense parar en cap moment, es trigaria gairebé 90 dies a escriure'l sencer.
En aquest enllaç, hi ha la llista completa dels Primers de Mersenne. És interessant destacar que, a dia d'avui, s'ha confirmat aquesta llista fins al Primer de Mersenne nombre 45. Això vol dir que fins aquest nombre ja se sap que no hi ha més Primers de Mersenne entre els que es coneixen. Per a la resta, de 46 a 50, podria passar que hi hagi algun altre Primer de Mersenne entre dos d'ells que encara no s'ha descobert.

És interessant recordar que els nombres de Mersenne són nombres de la forma Mn = 2n -1 i el seu nom es deu a Marin Mersenne. Amb aquest nou descobriment, se sap que 50 d'ells són primers, havent estat descoberts els més grans pel citat grup GIMPS. D'aquests nombres de Mersenne se sap que perquè siguin primers necessàriament l'exponent n'ha de ser també un nombre Primer, encara que no sempre que es prengui com a exponent un nombre primer s'obtindrà un Primer de Mersenne (per exemple, 211 -1 = 2047 = 23·89).

També se sap que cada Pprimer de Mersenne té associat un nombre perfecte, és a dir, un nombre que és igual a la suma dels seus divisors (exceptuant al propi nombre):
Si 2n -1 és un Primer de Mersenne, llavors el nombre 2n-1 -1 ·(2n -1) és un nombre perfecte.
Per exemple, per n = 3 tindrem que com 23 -1 = 7 és Primer, el nombre 23-1 ·(23 -1) = 28 és un nombre perfecte. I efectivament ho és, ja que:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Per tant, en aquest cas tenim que el nombre 277232917-1·(277232917 -1) és un nombre perfecte.

Font: Gaussianos

Corbes que se separen

Pel que fa a enunciats i demostracions, el món dels teoremes matemàtics és d'allò més variat. N'hi ha amb enunciats curts i enunciats llargs, i es poden trobar amb formulacions molt clares i senzilles d'explicar i amb formulacions bastant complexes. I pel que fa a les demostracions, hi ha de tot: belles, farragoses, curtetes, enfarfegadores, llargues, geomètriques, analítiques ...

El cas és que en matemàtiques tot resultat proposat s'ha de demostrar perquè es consideri correcte. Però és cert que alguns teoremes són tan clars i intuïtius que sembla que no necessiten demostració per afirmar la seva veracitat. Per això, possiblement, el cas més clar i representatiu d'aquest tipus de resultats és: el teorema de la corba de Jordan.

L'enunciat d'aquest teorema és d'allò més simple, intuïtiu i senzill d'explicar i comprendre, però, per contra, les demostracions que es coneixen d'ell són llargues, complexes i tècniques o necessiten d'utilitzar alguna teoria molt avançada.

Abans d'enunciar aquest teorema, cal introduir el problema a poc a poc. Per exemple amb un bolígraf es dibuixa un revolt tancat i que no es talli a si mateix (una circumferència o la imatge anterior. Està més o menys clar que aquesta corba deixa una porció del paper "dins" de la mateixa i una altra porció "fora" de la mateixa, i que aquestes dues porcions no tenen res en comú. I que la vora de les dues porcions és la pròpia corba que s'ha dibuixat. Bé, doncs aquest és el teorema de la corba de Jordan.

Abans de continuar, cal fixar-se en els punts que hi ha marcats en la imatge. Es podria dir quins d'ells estan "dins" de la corba i quins estan "fora" de la corba? En aquest cas la cosa és senzilla de veure, però potser no seria tan senzill si la corba fos molt més llarga, estigués dibuixada en un paper a major grandària i tingués molts més girs i complicacions. La pregunta és, llavors, la següent: es podria donar algun procediment que asseguri, sense cap mena de dubte, si un punt està "dins" o "fora" de la corba? La resposta ve més endavant.

  

Pel que sembla, el primer que va formular aquest resultat va ser el matemàtic francès Camille Jordan a la fi del segle XIX. El mateix Jordan va presentar una demostració d'aquest, però va resultar ser incorrecta. El primer que va donar una demostració correcta d'aquest teorema va ser Oswald Veblen al 1905. El teorema de la corba de Jordan pot enunciar de manera informal (en el sentit que estalviarem alguns detalls tècnics) com segueix:

Tota corba tancada representada en un plànol que no es talli a si mateixa divideix el pla en dues regions sense punts comuns: la "interior" (acotada) i l’ "exterior" (no fitada). A més, la vora de les dues regions és la pròpia corba.

Si es planteja a qualsevol persona, tingui formació matemàtica o no, segur que ho entendrà sense gaire esforç i, a més, ho veurà absolutament evident. De fet, és possible que algú que entengui que els teoremes cal demostrar-los pensi que en aquest cas ni tan sols caldria, que la cosa és tant evident que no podria no ser certa. O, en el cas d'assumir que cal demostrar-ho, pensaria que la demostració ha de ser bastant senzilla ...

... doncs no és així: les demostracions que es coneixen d'aquest teorema són realment complicades. Algunes són molt llargues i molt tècniques, i altres més curtes ho són perquè fan servir teories molt potents i avançades, pel que en realitat també són molt complicades i tècniques. D'aquestes últimes no en comentarem res més, però de les primeres, si.

La demostració llarga i tècnica fa servir com a idea inicial el tema que es plantejava abans com a exercici. Com saber si un punt està "dins" d'una corba o "fora" de la mateixa? Doncs hi ha un procediment relativament simple per veure-ho: talls transversals. Una recta talla transversalment a una corba si aquesta no és tangent a la corba en aquest punt de tall. A la següent imatge es pot veure un tall transversal i un que no ho és:

  

Bé, doncs es pot utilitzar això per determinar si un punt està a l'interior o a l'exterior de la corba. Des del punt, es traça una semirecta cap a una zona que se sàpiga amb seguretat que és a l'exterior de la corba i es compta quants talls transversals hi ha (si n'hi ha algun tangent no es compte). Si el nombre de talls transversals és parell, el punt estava a l'exterior de la corba, i si és imparell, llavors el punt estava a l'interior de la corba.

Doncs aquesta és la clau de la demostració, la idea és definir dos conjunts:

A = {punts per als quals tota semirecta traçada des d'ells talla transversalment a la corba un nombre imparell de vegades}

B = {punts per als quals tota semirecta traçada des d'ells talla transversalment a la corba un nombre parell de vegades}

I demostrar (i aquí hi ha el que és veritablement complicat) que en ambdós conjunts hi ha punts, que no tenen punts comuns i que la seva unió ens dóna el pla complet excepte la pròpia corba inicial. Sembla fàcil, però  no ho és.

I ara la pregunta és natural: què passa en altres dimensions? Doncs per corbes hi ha una generalització a qualsevol dimensió anomenada teorema de separació de Jordan-Brouwer, però per a superfícies la cosa falla, per exemple, en tres dimensions. Aquest enllaç porta a un article sobre  un contraexemple en tres dimensions: l'esfera cornuda d'Alexander.

Com s'ha comentat uns paràgrafs més amunt, és cert que s'han saltat molt detalls tècnics, tant en les definicions com, evidentment, en la demostració. Aquest resultat és cert per a tota corba que pugui deformar-se, sense trencar-la, fins a una circumferència (aquestes corbes s'anomenen corbes de Jordan ), però entre elles hi ha casos estranys que són difícils d'analitzar: corbes amb pics, punts des dels quals es poden traçar semirectes que tallen transversalment a la corba infinites vegades i algunes altres situacions complicades d'estudiar.

Font: Gaussinanos

Les matemàtiques de Karl Marx

Karl Marx és probablement una de les persones que més influència ha tingut en la descripció de la societat tal com és ara. En una enquesta de la BBC del 1999, va ser triat com el major pensador del Mil·lenni.

Karl Marx

Les teories de Marx sobre la societat, l'economia i la política: el marxisme, proclamen que les societats avancen a través de la dialèctica de la lluita de classes. Però no és sobre marxisme sobre el que es parla a continuació, sinó sobre una faceta menys coneguda de Marx: el seu interès per les matemàtiques.

En una carta de l'11 de gener de 1858, Marx va escriure a Engels:

"Treballant en els Principis de l'Economia, m'he sentit més entorpit pels errors de càlcul que per la falta d'esperança. Mai m'he sentit a gust amb l'aritmètica. Però fent una volta amb l'àlgebra, trobaré ràpidament el camí".
En aquesta aventura matemàtica el va acompanyar el seu col·lega, amic i també benefactor, Friedrich Engels. Tots dos van dedicar un gran esforç per avançar tant en les matemàtiques com en les ciències en general. Les matemàtiques serveixen per construir models, i l'objectiu de Marx era estudiar aquells que servien per entendre com funcionava l'economia.
Engels, en el pròleg de la seva important obra Anti Duhring, diu:
"Marx i jo vam ser els únics que vam salvar la dialèctica conscient de la filosofia idealista alemanya per portar-la a la concepció materialista de la naturalesa i de la Història. Però, per enfocar a l'una dialèctica i materialment la natura, cal conèixer les matemàtiques i les ciències naturals. Marx era un conscienciós matemàtic".

Karl Marx vol entendre els fonaments del càlcul i, aparentment, no estava al corrent del desenvolupament de l'anàlisi matemàtica de l'època, així que, entre 1873 i 1883, comença a escriure unes notes en què plasma les seves investigacions. Aquests escrits es recullen en un llibre que es publica primer en rus gràcies a l'esforç de la matemàtica russa Sofya Aleksandrovna Yanovskaya; Yanovskaya comença a estudiar aquests textos el 1930 i l'edició del llibre és el 1968. Posteriorment, el 1983, es publica la traducció a l'anglès amb el títol The Mathematical manuscripts of Karl Marx. Hi ha una edició en espanyol de 1987 per Edicions Xerais.
Segons els textos, sembla ser que l'interès de Marx anava sobretot per entendre les corbes que sorgien dels gràfics realitzats amb les dades experimentals. En aquesta tasca, Marx no compta encara amb l'edifici sòlid que avui ofereixen les matemàtiques. En aquesta època, matemàtics de la talla de Weierstrass, Dedekind i Cantor estaven detallant conceptes com el límit. D'altra banda, i fruit de la rivalitat de Newton i Leibniz, les relacions entre les matemàtiques del continent europeu i les de les illes britàniques no eren tot el fluïdes que haurien de ser.

Marx estudia la naturalesa i la història del càlcul diferencial, però també realitza la seva pròpia investigació, obtenint de manera independent resultats ja coneguts. Tot i que els resultats no van canviar el desenvolupament de les matemàtiques, sí que és interessant assenyalar com Marx s'avança al seu temps conceptualment: Ell protestava per una visió de la derivació i la integració com a mers càlculs i preferia aprofundir en la seva naturalesa.

Font: Matematicas y sus fronteras

El llenguatge de les matemàtiques

Galileu Galilei a Il Saggiatore, es preguntava en quin llenguatge estava escrit l'univers, i deia: "... Egli è scritto in lingua matematica, ii caratteri són Triangoli, Cerchi, ed Altre figuri geometriche, ... "

Estàtua de Galileu Galilei a Florència

Galileu va dir quines són les lletres que s'han de fer servir per descriure el món. I aquests caràcters s'han anat construint al llarg de segles, més aviat, mil·lennis. Alguns erudits sostenen que és la necessitat de comptar fent marques en els atuells de fang el que va conduir al naixement de l'escriptura. En qualsevol cas, els símbols es van anar creant. Per exemple, a l'Os d'Ishango, que va poder ser tallat per establir un sistema de numeració fa 20.000 anys.

L'os d'Ishango

Els símbols per representar els nombres van ser diferents per a les moltes cultures: símbols cuneïformes per als babilonis, jeroglífics per als egipcis, els números romans, i l'aparició del sistema decimal i els números indo-aràbics que avui en dia fem servir universalment, culminats amb el zero, de valor clau per desenvolupar un sistema posicional.

El primer escrit occidental on apareixen els números indo-aràbics, sense incloure el zero, és el Codex Vigilanus o Albeldensis, manuscrit anònim escrit en llatí i finalitzat en el 881

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Aquests deu símbols s'utilitzen en el sistema de numeració decimal i són àmpliament reconeguts universalment. Pràcticament qualsevol persona, sense importar el seu idioma i alfabet nadiu, està en la capacitat d'entendre i comprendre el seu significat. No obstant això, el nom que els números tenen en un idioma permeten entreveure altres sistemes de numeració que van estar presents en l'antiguitat.
Per exemple, tot i que França va adoptar el sistema decimal al segle XVI, encara es poden evidenciar traços del sistema vigesimal. Veiem que el nombre 80 en francès es diu quatre-vingt ("quatre vints"), ja que aquest idioma utilitza el nombre 20 com a base entre el 70 i el 100. En addició, l'hospital Quinze-Vingts, de París encara conserva el seu nom en honor a les 300 llits que allí hi havia. Es creu que el sistema vigesimal es va originar de la suma dels dits de les mans i dels peus dels humans.

Un altre cas el veiem en el rus a l'hora d'expressar l'edat. Aquest idioma té casos gramaticals, és a dir, els substantius canvien segons el seu paper en l'oració. Per no entrar en detalls, vegem com es diu "Tinc 31 anys": Мне 31 год ( "mnie 31 god"). Fixem-nos en l'última paraula. Si l'edat acaba en 1 (11,21,31, ... anys) es fa servir la paraula год ( "god"). Però si l'edat acaba en 2, 3, 4, 5 s'usa la paraula года ( "goda"). Per a les edats que acaben en els nombres restants, s'utilitza la paraula лет ( "let"). Darrera d'aquesta regla gramatical que sembla un tant absurda, hi ha el concepte de "un, pocs i molts" que es va desenvolupar en cultures antigues on no existia la necessitat de comptar grans quantitats.
Però no només els números porten a crear un simbolisme. Els Elements d'Euclides contenen les primeres maneres del raonament lògic. Aquesta és probablement el que li dóna a les matemàtiques aquest caràcter universal; d'axiomes incontestables, per deducció lògica, anem obtenint proposicions i teoremes. El rigor matemàtic ja no anava a abandonar mai més a la humanitat.
Signes tan habituals per a nosaltres com + i - tenen una història molt recent: apareixen en l'obra Mercantile Arithmetic, del matemàtic alemany Johannes Widman, publicat a Leipzig el 1489. En aquest text, no tenen la connotació algebraica, sinó que aquesta és posterior, i apareix així en altres manuscrits de finals del segle XV.

Pàgina del "Mercantile Arithmetic" de Johannes Widmann

Un altre signe com el de l'igual, =, apareix en el llibre The Whetstone of Witte , i el signe de la multiplicació, ×, s'utilitza per primera vegada en l'obra Clavis Mathematicae (1631), del matemàtic anglès William Oughtred. El punt en comptes de la creu de Sant Andreu, x, va ser popularitzat per Leibniz, encara que ja el feien servir alguns autors. La notació dels dos punts, :, per a la divisió va ser també popularitzada per Leibniz.
Però es pot veure com prèviament a aquests quatre símbols, +, -, xy, :, se'n van utilitzar molt menys manejables.
El símbol de l'arrel quadrada va aparèixer per primera vegada en en un llibre alemany a mitjan segle XVI. Per evitar escriure "arran de ..." es va començar a escriure una "r", on el traç horitzontal cobria tot el nombre, donant origen al símbol que coneixem actualment.
Nocions com la derivada i la integral es van desenvolupar a la segona meitat del segle XVII, per obra d'Isaac Newton i Leibniz. A Leibniz es deuen els noms de: càlcul diferencial i càlcul integral, així com els símbols de derivada d / dx i el símbol de la integral ∫.
Això és només un breu recompte de símbols, aquests han anat configurant un autèntic llenguatge per a les matemàtiques, el que ha permès un desenvolupament vertiginós en els 3 últims segles. El desenvolupament de la lògica matemàtica finalment ha completat un sistema, de manera que si un s'ho proposa pot escriure com un autèntic jeroglífic.

Aquest desenvolupament del llenguatge de les matemàtiques, del qual aquí només s'ha fet un esbós, és el que permet escriure un resultat per mitjà d'una equació. Les equacions serien per tant els autèntics caràcters amb què descriure l'univers.

Font: Matemàtiques i les seves fronteres

Lord Kelvin, Pequín 2008 i un monòleg d'humor

Les abelles tenen habilitats matemàtiques. Això ja ho va destacar Pappus d'Alexandria al segle IV quan va analitzar la forma en què aquests insectes construeixen les bresques.

A més de per construir les cel·les amb un angle final òptim, la forma hexagonal de les cel·les no sembla ser ni de bon tros casual, ja que l'hexàgon regular és el polígon que, a igual àrea, té menor perímetre, de manera que és el millor per omplir un plànol amb polígons (és a dir, per construir bresques òptimes). Va ser precisament Pappus qui va conjecturar aquest resultat, però no ho va demostrar.
I així es va mantenir la cosa, sense demostració, fins al 1999, any en què Thomas Hales va demostrar la veracitat de la coneguda com a conjectura de la bresca en el seu treball The Honeycomb Conjecture, tancant així el cercle: efectivament, entre tots els polígons (siguin convexos o no convexos) l'hexàgon regular és el polígon més eficient per omplir un pla.
A partir d'això, sorgeix de manera natural el fet de preguntar què passa en tres dimensions. La pregunta, en aquest cas, seria la següent: quin és el poliedre que, a igual volum, té menor àrea? O dit d'una altra manera: quin és el poliedre més eficient per omplir l'espai tridimensional amb ell?

Octaedre truncat. WIKIPEDIA

A la fi del segle XIX, Lord Kelvin va conjecturar que seria l'octàedre truncat.
El mateix William Thomson (que era el veritable nom de Lord Kelvin) va establir aquesta conjectura en el seu treball On the division of space with minimum partitional area. Això és el que va motivar que aquest problema es denominés, a partir d'aquest moment, conjectura de Kelvin. A la següent imatge, es pot veure com quedaria un emplenat de l'espai tridimensional amb aquests preciosos políedres, els octàedres truncats:

Però, com va passar en el cas anterior amb Pappus, Lord Kelvin no va poder demostrar que l'octàedre truncat era el poliedre més eficient entre tots els poliedres que són capaços d'omplir l'espai tridimensional. Era el millor resultat conegut, però no se sabia si era el més eficient.
El problema es va mantenir així fins a finals del segle XX. El 1994, Denis Weaire i Robert Phelan van publicar el treball A counter-example to Kelvin 's Conjecture on minimal surfaces. En ell, com indica el seu propi títol, Weaire i Phelan presenten un contraexemple a la conjectura de Kelvin donant un poliedre que és més eficient que l'octaedre truncat a l'hora d'emplenar l'espai amb ell. Dit poliedre, conegut actualment com estructura de Weaire-Phelan (sí, un nom molt original i imaginatiu ...), està format per dos dodecaedres irregulars amb cares pentagonals, sis tetradecaedres amb dues cares hexagonals i dotze cares pentagonals i, segons el treball de Weaire i Phelan, és un 0'3% més eficient que l'octaedre truncat.

Bonica i aparentment complicada de muntar. En aquest enllaç de CutOutFoldUp, es podran trobar diferents plantilles i els passos necessaris per muntar l'estructura de Weaire-Phelan. Aquesta web conté moltíssimes plantilles i informació per a construir en paper una gran quantitat de figures. Molt recomanable per als amants d'aquestes construccions.
Això podria tenir alguna aplicació pràctica? Doncs sí, la té. Als Jocs Olímpics de Pequín el 2008 es va poder veure una construcció basada en aquesta estructura: el Beijing National Aquatics Center:

Weaire i Phelan van trobar una estructura més eficient que el poliedre de Kelvin, però no van demostrar que fos la més eficient. És a dir, és més eficient que l'octaedre truncat, però no se sap si és la millor possible, de manera que podria trobar-se una estructura polièdrica més eficient que la de Weaire-Phelan. O també podria demostrar-se que, efectivament, sí que és la millor possible. A dia d'avui continua sense saber-se.




Font: Gaussianos

Billar i matemàtiques

El billar és un joc popular. Els inicis es remunten a cultures tan antigues com les de Grècia i Egipte, tot i que és al segle XVII quan pren la forma actual. El nom ve de la paraula francesa bille, bola. Avui dia s'associa a les cerveses i reunions d'amics, i també té presència a les televisions amb concursos en què els jugadors, en les seves diferents variants, fan jugades que ens semblen impossibles.

Estudiants de Tubinga jugant al billar al segle XIX

El billar és un joc amb un alt contingut matemàtic, i ja al 1835 el francès Gaspar Gustave de Coriolis va escriure l'obra titulada Teoria matemàtica del joc de billar en què s'estudien les trajectòries parabòliques. El gravat que s'acompanya, és fins i tot més antic, del llibre de Charles Cotton de 1674 titulat The Compleat Gamester.

Hi ha una analogia entre un billar i un sistema físic com pot ser un gas atrapat en un recipient. Les boles del billar es comporten de manera similar als àtoms del gas. Es mouen lliurement fins que xoquen amb el recipient que les conté. En el billar, de manera similar, les boles roden per la taula fins que es troben amb les vores. Tot i suposar condicions perfectes en els models (per exemple, el gas no perd energia), un diagrama que representi les posicions i velocitats de cada àtom o cada bola del billar, dista de ser senzill. A aquests models en què no es perd energia o els models de "boles dures" com les del billar, sense rotació i que interactuen elàsticament entre si, se'ls anomena sistemes hamiltonians.
De fet, el model dels gasos va ser comparat al model de billar per la hipòtesi ergòdica de Boltzmann (fa més de cent anys). La teoria ergòdica presenta precisament la integrabilitat o no integrabilitat d'un sistema dinàmic.
A la riquesa dels diferents moviments i combinacions, sorgeixen els règims integrables o no integrables. En paraules senzilles, que puguem obtenir una equació que expliqui el moviment o no. D'altra banda, els sistemes poden ser caòtics: petites variacions en les condicions inicials poden implicar canvis profunds en el comportament molt futur que impossibiliten la predicció a llarg termini.
Els sistemes integrables presenten la coexistència de hipersuperficies anomenades toros.

Unes superfícies molt comuns en matemàtiques, (els dònuts o rosquilles), i en els no integrables existeixen components ergòdiques (dit de manera molt simplificada).
Un exemple notable de billar és el d'Hadamard, que analitza el moviment d'una partícula lliure en una superfície que posseeix una curvatura negativa constant. És l'exemple per antonomàsia del caos determinista. L'acoblament de Boltzmann-Gibbs per a un gas ideal és essencialment el més caòtic dels billars d'Hadamard.
El billar de Sinái és un billar de taula quadrada plana i en el seu centre s'extreu un cercle. Sorgeix en estudiar el comportament de dos discos que es desplacen dins del billar quadrat, reflectint-se en les vores del quadrilàter i que poden xocar entre si. Aquest billar és caòtic i serveix també com a model d'un gas clàssic, com un gas de Lorentz.

No obstant això, també hi ha exemples de billars no ergòdics. El matemàtic nord-americà George Birkhoff (1884-1944) va demostrar que els billars de taula el·líptica són completament integrables. Aquí, les òrbites representades en un espai de fases (de posicions i un factor de la velocitat, denominats moments) són periòdiques. Les òrbites en un espai de fases d'un sistema ergòdic acaben recobrint l'espai.

Font: ICMAT-CSIC

Una igualtat matemàtica plena de bellesa

La identitat d'Euler és, possiblement, la igualtat numèrica més bella que es coneix.

Igual que en altres disciplines, com la literatura, l'art o la música, dins de les matemàtiques també s'hi pot trobar bellesa. La geometria és, possiblement, una de les branques on es poden trobar resultats més bells (com, per exemple, el de la circumferència de Feuerbach), però també es poden trobar belleses matemàtiques jugant amb números (els quadrats màgics habituals i els menys habituals són bons exemples).

Identitat d'Euler

Ni equació (no hi ha en ella cap incògnita) ni fórmula (no hi ha cap relació entre magnituds): igualtat o identitat d'Euler. La identitat d'Euler és una igualtat que relaciona d'una manera preciosa cinc dels nombres més importants i representatius de les matemàtiques: 0, 1, i , i i π . I avui expliquem com es va arribar a aquesta meravellosa relació.
La identitat d'Euler és un cas particular de la coneguda com a fórmula d'Euler (no confondre amb la fórmula d'Euler per a poliedres ), tot i que Roger Cotes ja va publicar alguna cosa relacionada amb aquesta abans que Euler (encara que no escrita de la forma habitual). La fórmula en qüestió apareix a Introduction in analysin infinitorum, possiblement l'obra més coneguda i important del gran Leonhard Euler. A la pàgina 104 del Volum I de la mateixa es pot veure com un desenvolupament anterior culmina en la següent expressió:

Fórmula d'Euler que apareix en l'obra de Leonhard Euler

Prenent v com un angle, i sabent que en l'actualitat a √-1 es representa amb la lletra i, s'obté la que ara coneixem com a fórmula d'Euler:

Una demostració d'aquesta fórmula, seria.
Partint de l'expressió d'e x com a sèrie de potències:

En ella, es substitueix x per iz. Usant que i1 = i , i2 = -1 , i3 = -I i que i4 = 1 (el cicle es repeteix d'aquí en endavant), separant després els termes d'exponent parell d'una banda i els d'exponent imparell d'altra s'obté el següent:

I dóna la meravellosa casualitat que els desenvolupaments en sèrie de cos (z) i sin (z) són exactament aquestes dues últimes sèries (i en aquest ordre). Per tant, es té l'esperada i buscada fórmula d'Euler:

La identitat d'Euler surt de la fórmula d'Euler en substituir z per π, sabent que cos (π) = - 1 i sin (π) = 0 i sumant 1 a banda i banda de l'equació:

La tremenda bellesa que envolta a aquesta identitat fa que aparegui de manera recurrent en molts llocs. És magnífica per aparèixer en obres d'art, i els grafits donen una bona prova d'això. N'hi ha molts que tenen a la identitat d'Euler com a protagonista i, concretament a Granada, se'n poden trobar uns quants. A la imatge ha ha un parell d'exemples. A l'esquerra hi ha una que es pot veure al carrer Gonzalo Gallas, sortint per la porta del darrere de la Facultat de Ciències. I a la dreta n'hi ha una altra a la paret d'una casa al camp que troba en alguna de les sortides que hi ha a l'autovia Jaen-Granada:

També es pot trobar en aquesta meravellosa sèrie d'humor que porta retratant a la societat americana des de fa molts molts anys: Els Simpson. El frikisme científic és una característica comuna a gran part dels seus guionistes, i això ha propiciat que aquesta identitat aparegui en diversos capítols. Aquí venen algunes imatges dels mateixos:

La identitat d'Euler a 'Los Simpson'

I, és clar, és també perfecta per modificacions corporals. És habitual veure-la en tatuatges:

o en aquesta:

Font: Gaussianos