Lord Kelvin, Pequín 2008 i un monòleg d'humor

Les abelles tenen habilitats matemàtiques. Això ja ho va destacar Pappus d'Alexandria al segle IV quan va analitzar la forma en què aquests insectes construeixen les bresques.

A més de per construir les cel·les amb un angle final òptim, la forma hexagonal de les cel·les no sembla ser ni de bon tros casual, ja que l'hexàgon regular és el polígon que, a igual àrea, té menor perímetre, de manera que és el millor per omplir un plànol amb polígons (és a dir, per construir bresques òptimes). Va ser precisament Pappus qui va conjecturar aquest resultat, però no ho va demostrar.
I així es va mantenir la cosa, sense demostració, fins al 1999, any en què Thomas Hales va demostrar la veracitat de la coneguda com a conjectura de la bresca en el seu treball The Honeycomb Conjecture, tancant així el cercle: efectivament, entre tots els polígons (siguin convexos o no convexos) l'hexàgon regular és el polígon més eficient per omplir un pla.
A partir d'això, sorgeix de manera natural el fet de preguntar què passa en tres dimensions. La pregunta, en aquest cas, seria la següent: quin és el poliedre que, a igual volum, té menor àrea? O dit d'una altra manera: quin és el poliedre més eficient per omplir l'espai tridimensional amb ell?

Octaedre truncat. WIKIPEDIA

A la fi del segle XIX, Lord Kelvin va conjecturar que seria l'octàedre truncat.
El mateix William Thomson (que era el veritable nom de Lord Kelvin) va establir aquesta conjectura en el seu treball On the division of space with minimum partitional area. Això és el que va motivar que aquest problema es denominés, a partir d'aquest moment, conjectura de Kelvin. A la següent imatge, es pot veure com quedaria un emplenat de l'espai tridimensional amb aquests preciosos políedres, els octàedres truncats:

Però, com va passar en el cas anterior amb Pappus, Lord Kelvin no va poder demostrar que l'octàedre truncat era el poliedre més eficient entre tots els poliedres que són capaços d'omplir l'espai tridimensional. Era el millor resultat conegut, però no se sabia si era el més eficient.
El problema es va mantenir així fins a finals del segle XX. El 1994, Denis Weaire i Robert Phelan van publicar el treball A counter-example to Kelvin 's Conjecture on minimal surfaces. En ell, com indica el seu propi títol, Weaire i Phelan presenten un contraexemple a la conjectura de Kelvin donant un poliedre que és més eficient que l'octaedre truncat a l'hora d'emplenar l'espai amb ell. Dit poliedre, conegut actualment com estructura de Weaire-Phelan (sí, un nom molt original i imaginatiu ...), està format per dos dodecaedres irregulars amb cares pentagonals, sis tetradecaedres amb dues cares hexagonals i dotze cares pentagonals i, segons el treball de Weaire i Phelan, és un 0'3% més eficient que l'octaedre truncat.

Bonica i aparentment complicada de muntar. En aquest enllaç de CutOutFoldUp, es podran trobar diferents plantilles i els passos necessaris per muntar l'estructura de Weaire-Phelan. Aquesta web conté moltíssimes plantilles i informació per a construir en paper una gran quantitat de figures. Molt recomanable per als amants d'aquestes construccions.
Això podria tenir alguna aplicació pràctica? Doncs sí, la té. Als Jocs Olímpics de Pequín el 2008 es va poder veure una construcció basada en aquesta estructura: el Beijing National Aquatics Center:

Weaire i Phelan van trobar una estructura més eficient que el poliedre de Kelvin, però no van demostrar que fos la més eficient. És a dir, és més eficient que l'octaedre truncat, però no se sap si és la millor possible, de manera que podria trobar-se una estructura polièdrica més eficient que la de Weaire-Phelan. O també podria demostrar-se que, efectivament, sí que és la millor possible. A dia d'avui continua sense saber-se.




Font: Gaussianos