Sèries de Taylor

Hi ha dos conceptes importants pels estudiants de primer de qualsevol carrera científica, un és el concepte de autovector i l'altre, el concepte de sèrie de Taylor, però ambdos resulten ser bastant senzills i increïblement útils en una futura vida professional.
Si fem una ullada a la seva definició:

El que explica l'expressió anterior, es aconseguir amb una sèrie de Taylor aproximar-se a una funció qualsevol (f (x)) per un polinomi (la sèrie). Llevat que f(x) sigui d'entrada un polinomi, l'aproximació mai serà exacta (llevat que s'usin polinomis amb infinits termes).
Davant d'aquest problema, s'ha d'escollir un punt al voltant del qual es vol que l'aproximació sigui el més encertada possible. Aquest és el punt que s'ha anomenat x0 en l'equació anterior.
Perquè el polinomi aproximant al voltant de x0 sigui digne d'aquest nom, com a mínim, haurà de ser igual a la funció en aquest punt. Això equival al fet que el polinomi p(x) compleix la següent condició:

El cas més simple que verifica l'equació anterior és un polinomi d'ordre 0, és a dir, un polinomi constant. Gràficament es veu que l'aproximació és molt simple:

Aproximació d'ordre 0 al voltant de x0 = -1

Com es podria millorar? Per exemple, fent que la recta sigui tangent a la corba en el punt. Gràficament:

Aproximació d'ordre 1 al voltant de x0 = -1

Analíticament, això es correspon amb exigir al polinomi p(x) que tingui la mateixa derivada que f(x) en el punt x0. És a dir, permetre polinomis, ara, de grau 1, i exigir:

Però, per què aturar-se aquí?, què passa si s'exigeix també igualtat en les segones derivades? És a dir, alguna cosa com:

Fent un cop d'ull al gràfic es veu que, en efecte, igualar les segones derivades millora l'aproximació:

Aproximació d'ordre 2 al voltant de x0 = -1

Doncs bé, l'equació que s'ha vist al principi, l'únic que fa és definir un polinomi les derivades, totes elles, són iguals que les derivades de la funció a aproximar:

etcètera.
Cadascuna de les derivades que es vol ajustar, obliga a tenir en compte un terme més en el polinomi, és a dir, sumar un monomi més. La pega és que llevat que la funció f(x) sigui un polinomi, el procés pot repetir-se indefinidament. A la pràctica, en general s'utilitzen sèries truncades. Aquestes aproximacions truncades es diuen aproximacions d'ordre n. Així, una aproximació d'ordre 2 és un polinomi de grau 2 en el qual les derivades segona, primera i nul·la s'han ajustat.

Font: Naukas